Quasistationäritätsprinzip für PDE

Multiskalensysteme gehören zu den am häufigsten auftretenden Problemen in den Natur- und Sozialwissenschaften. Es handelt sich um Systeme, in denen verschiedene Komponenten auf einer unterschiedlichen Zeitskala zum Verhalten des Gesamtsystems beitragen, d.h. sie können im Vergleich zu den anderen Komponenten sehr schnell oder sehr langsam ablaufen. In vielen Situationen kann man diese unterschiedlichen Zeitskalen ausnutzen, um die Komplexität des Systems zu reduzieren und folglich das reduzierte Problem effizienter untersuchen. Diese Idee wird gemeinhin als quasi-steady-state-approximation (QSSA) bezeichnet und wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts am Beispiel von Enzymreaktionen in der Biologie begründet. Obwohl das Reduktionsverfahren weitgehend intuitiv ist, sind strenge mathematische Beweise von großer Bedeutung, um seine Genauigkeit zu gewährleisten und den Fehler der Annäherung abzuschätzen. Dies ist eine besondere Herausforderung, wenn die räumliche Heterogenität zusätzlich berücksichtigt wird. Das Hauptziel dieses Projekts ist es, die QSSA für räumlich heterogene Systeme, die durch partielle Differentialgleichungen modelliert werden, rigoros zu untersuchen. Eine Neuheit ist die Kombination von zwei Ansätzen: funktional-analytische Technik und geometrische Technik für schnell-langsame Systeme. Wir beginnen mit einer rigorosen Herleitung der Michaelis-Menten-Kinetik, einer der am häufigsten verwendeten Kinetiken für Enzymreaktionen, aus dem Gesetz der Massenwirkung in einem heterogenen Medium. Im nächsten Schritt sollen die strukturellen Voraussetzungen für die Gültigkeit der QSSA für allgemeine Modelle untersucht werden, d.h. es soll die Frage beantwortet werden, unter welchen Bedingungen wir die QSSA auf ein Problem anwenden können, ohne ein reduziertes System größerer Ungenauigkeit zu erhalten. Wir gehen davon aus, dass der potenzielle Erfolg dieses Projekts die Theorie der QSSA für PDE erheblich voranbringen und weitere Einblicke in ihre Anwendungen auf praktische Probleme geben wird.

Systeme mit mehreren Zeitmaßstäbe - bei denen verschiedene Prozesse mit (sehr) unterschiedlichen Geschwindigkeiten ablaufen - treten häufig in vielen realistischen Problemen auf. Dieses Phänomen wurde im Kontext von fast-slow Systemen seit Jahrzehnten untersucht, was zu zahlreichen geometrischen Eigenschaften geführt hat. In jüngster Zeit wurden diese Probleme auch im Zusammenhang mit schnellen Reaktionsgrenzwerten für PDEs untersucht, wobei faszinierende mathematische Strukturen aufgedeckt wurden. In diesem Projekt verbinden wir diese beiden Richtungen und stellen eine angemessene geometrische Theorie für Schnellreaktions-Grenzwertprobleme in partiellen Differentialgleichungen bereit. Eines der interessanten Ergebnisse dieses Projekts ist die Herstellung der Michaelis-Menten-Kinetik für Enzymreaktionen bei Vorhandensein von Diffusion. Genauer gesagt wird bewiesen, dass das Modellierungssystem einen Kreuz-Diffusionseffekt enthält, bei dem der Diffusionsfluss des Enzym-Komplex-Gemisches von der Substratkonzentration beeinflusst wird. Dies liefert ein sinnvolles Modell für enzymatische oder allgemein katalytische Reaktionen bei Vorhandensein von Diffusion.