Mengentheoretische Aspekte topologischer Auswahlprinzipien

Die Definition einer mathematischen Eigenschaft erdordert üblicherweise Beispiele von Objekten, die diese Eigenschaft haben. Wie konstruiert man solche Objekte? Relativität in der Mathematik - kann es passieren, dass zwei Objekte in einer Welt verschieden, aber in einer anderen identisch sind? In der Mathematik erscheint jede Aussage wahr oder falsch aber manchmal ist sie unentscheidbar, was man wiederum beweisen kann. Gibt es Objekte mit einer gewissen Eigenschaft deren Kombination diese Eigenschaft nicht hat? Eine mathematische Welt kann zu einer größeren erweitert werden. Können Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft in der kleineren Welt diese in der größeren verlieren? Es gibt verschiedene Unendlichkeiten und Eigenschaften wurden in Bezug auf die kleinste definiert. Was passiert bei größeren Unendlichkeiten? Das Projekt handeltvonTeilmengender reellenZahlenund kombinatorischen Überdeckungseigenschaften, d.h. Eigenschaften aus verschiedenen Teilbereichen der Mathematik. Dies ist momentan einer der aktivsten Forschungsrichtungen innerhalb der reinen Mathematik und ihrer Grundlagen. Unsere Ziele bestehen in der Beantwortung der obigen Fragen deren formale Entsprechungen zentrale Probleme dieser Forschungsrichtung darstellen. Einige der Methoden, die wir zur Lösung dieser Probleme zu benutzen gedenken, sind bei weiten noch nicht ausgeschöpft und wir wollen sie umfassend einsetzen. So ermöglicht beispielsweise die Forcingmethode, Aussagen als unabhängig nachzuweisen, indem sie mathematische Welten zu größeren solchen erweitert. Flexible Werkzeuge wie die Forcingmethode wurden noch nicht breit in der Theorie topologischer Wahlen angewandt. Jede neue Konstruktion von Mengen mit den erwogenen Eigenschaften wäre ein wichtiger Beitrag zur Theorie, bisher sind wenige Methoden verfügbar. Das letzte Problem welches von höheren Unendlichkeiten handelt, ist vollständig neu. Mögliche Verallgemeinerungen klassischer Eigenschaften und deren Beziehungen zu ihren klassischen Entsprechungen sollten erkundet werden. Daserwartete Ergebnisdes Projekts wird die Theorie der kombinatorischen Überdeckungseigenschaften weiterentwickeln. Da diese Theorie verschiedene mathematische Teilbereiche verbindet und die Anwendungen von Methoden eines dieser Bereiche auf einen anderen ermöglicht, könnte der Einfluss der erreichten Ziele den in der Projektbeschreibung angedeuteten übersteigen.