Boolesche Methoden, Erwartung, Resolventen, Free Probability

Big Data und sogenannte "künstliche Intelligenz" sind große Herausforderungen unseres Jahrhunderts. In vielen Fällen sind Daten in der Form von großen Tabellen gegeben und die Erfassung der wesentlichen Inhalte ist ein wichtiges Problem. Aus mathematischer Sicht sind Datentabellen nichts anderes als Matrizen mit zufälligen Einträgen. Andererseits sind Zufallsmatrizen auch im Inneren von neuronalen Netzwerken zu finden, die ein wesentliches Werkzeug für die Analyse von Big Data darstellen. Aus diesen und anderen Gründen erfreut sich die Untersuchung von Zufallsmatrizen in den letzten Jahren großer Popularität. Eine der grundlegenden Charakteristiken einer Matrix ist das Spektrum, d.i. die Menge der Eigenwerte, die wesentliche Eigenschaften einer Matrix in kompakter Form enthalten. Es stellt sich nun heraus, daß für eine große Klasse von großen Zufallsmatrizen das Spektrum die Zufälligkeit verliert und sich um einen deterministischen Grenzwert konzentriert. Freie nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie stellt einen abstrakten Rahmen zur Verfügung, um diese deterministischen Grenzverteilungen der Eigenwerte von großen Zufallsmatrizen zu beschreiben. Mit den elementaren algebraischen Operationen wie Addition und Multiplikation kann man kompliziertere Matrizen aus stochastisch unabhängigen Zufallsmatrizen aufbauen und die Strukture ihrer Spektren untersuchen. Im Fall der einfachen Addition oder Multiplikation wird das dadurch gewonnene Spektrum durch die sogenannte freie Faltung beschrieben. Für die Anwendungen ist es aber wichtig, auch kompliziertere Transformationen unabhängiger Matrizen zu verstehen. Das Ziel dieses Projekts ist eine Art "freie Integralrechnung", die effiziente algebraische Werkzeuge zur Verfügung stellt, die die Berechnung von Spektren beliebiger nichtkommutativer Polynome in unabhängigen Zufallsmatrizen ermöglichen sollen. Dabei bleiben Konvergenzfragen ausgeblendet, die im wesentlichen schon bekannt sind, und es wird nur um die abstrakten Grenzobjekte gehen ("unendlich große Matrizen"), die das eigentliche Objekt der nichtkommativen Wahrscheinlichkeit darstellen. Unsere Methode ist auch auf nicht-selbstadjungierte Matrizen anwendbar, für die das Spektralproblem wesentlich komplizierter ist. Das Spektrum einer nicht-selbstadjungierten Matrix ist eine Teilmenge der komplexen Ebene und nicht unbedingt der rellen Achse. Es ist wesentlich schwerer zu behandeln und wird zur Zeit intensiv untersucht. Unser Projekt wird auch einen neuen Zugang zum Studium großer nicht-selbstadjungierter Zufallsmatrizen liefern.