Paradoxe Flexibilität von kombinatorischen Fachwerken

Paradoxe Bewegungen treten dann auf, wenn eine Struktur, von der wir erwarten, dass sie stabil sei, für Spezialfälle doch Flexibilität aufweist. Als Basiskonstruktion können wir uns dabei Fachwerke vorstellen, die in Brücken, Türmen und Gerüsten vorkommen. Natürlich wollen wir, dass diese Objekte stabil sind. Die meisten dieser Konstruktionen haben eine relativ einfache Bauweise und wir wissen, wie sie gebaut werden müssen, um Stabilität zu erreichen. Betrachten wir eine allgemeinere aber abstraktere Konstruktion. Wir nehmen eine Menge an Rotationsgelenken, die mit Stäben von fixer Länge verbunden sind. Wenn wir etwa ein Dreieck bilden und es in die Ebene legen, dann sind die einzigen Möglichkeiten, das Objekt zu bewegen Rotationen, Verschiebungen und Kombinationen davon. Ein solches Objekt nennen wir starr. Wenn wir statt dessen vier Gelenke mit vier Stäben in einem Zyklus verbinden, dann können wir das Objekt deformieren, ohne die Längen zu ändern. Es ist also flexibel. Wenn wir die konkreten Längen nicht berücksichtigen und nur auf die Struktur achten, bekommen wir einen Graphen. Dieser besteht aus Knoten, welche die Gelenke repräsentieren, und Kanten, die für die Stäbe stehen. Eine Kante verbindet immer zwei Knoten. Die Struktur eines Graphen reicht aus, viel über die Stabilität zu sagen, wenn wir den Graphen in der Ebene oder im Raum platzieren. Viele Graphen ergeben jedoch für fast alle Platzierungen ein starres Objekt, während sie für wenige sehr spezielle Platzierungen ein flexibles erzeugen. Es ist bekannt, dass flexible Platzierungen mit speziellen Färbungen der Kanten in Verbindung gebracht werden können. Eine Färbung ist dabei eine Zuordnung einer Farbe zu jeder Kante. Es ist jedoch kompliziert, solche Färbungen zu finden. Teil des Projektes ist es, diesen Vorgang zu beschleunigen. Weiters untersuchen wir symmetrische Graphen und flexible Platzierungen, welche die Symmetrie beibehalten. Rotationssymmetrische Bewegungen können auch mit Färbungen in Verbindung gebracht werden, aber beispielsweise für die Spiegelung ist dies noch unbekannt. Die Stabilität von Graphen spielt auch in anderen Anwendungen eine Rolle. In Sensornetzwerken kann etwa eine Positionsbestimmung durchgeführt werden, wenn Abstände gemessen werden und diese Entfernungsmessungen so gestaltet sind, dass für den daraus entstandenen Graphen nur eine mögliche Platzierung mit passenden Kantenlängen existiert. Auch solche Graphen können paradoxe flexible Platzierungen haben. In so einem Fall wäre die Positionsbestimmung nicht möglich. Schließlich gibt es noch Graphen, die an sich schon flexibel sind, aber bei speziellen Platzierungen noch weitere Bewegungen zulassen. Auf der anderen Seite kann man aber auch zusätzliche Bedingungen an die Graphen und Einschränkungen der Bewegungen stellen. In all diesen Fällen sind paradoxe Bewegungen interessant und werden in diesem Projekt untersucht.