Topologische Kozyklen über minimalen Homeomorphismen

Sei X ein kompakter metrischer Raum und T ein minimaler Homeomorphismus auf X (d.h. ein Homeomorphismus, sodaß jeder T-Orbit eines Elementes von X ist dicht in X ist). Ein topologischer Kozyklus ist ein dynamisches System, das durch Aufsummieren der Iterationen einer stetigen Funktion auf X durch T entsteht. Diese stetige Funktion soll ihre Werte in einer abelschen lokalkompakten Gruppe, im einfachsten Fall in den reellen Zahlen, annehmen. Zusätzlich sei noch vorausgesetzt, daß der Homeomorphismus T distal ist, d.h. zwei voneinander verschiedene Punkte in X können durch eine gemeinsame Iteration unter T einander nicht beliebig nahe kommen. Die Aufgabenstellung des ersten Teils des Forschungsprojekts soll eine allgemeine Klassifizierung derartiger Systeme sein, aufbauend auf Resultate des Antragstellers für eine spezielle Klasse von distalen Homeomorphismen auf mehrdimensionalen Tori. Dazu soll eine Strukturtheorie distaler minimaler Flüsse von Fürstenberg verwendet werden. Diese Strukturtheorie abstrahiert die Eigenschaften der vorhin genannten Klasse von distalen Homeomorphismen auf Tori und zeigt, daß jeder distale minimale Homeomorphismus durch eine Folge von sog. quasi-isometrischen Erweiterungen dargestellt werden kann. Mit dieser Darstellung soll die Regularität solcher Kozyklen gezeigt werden. Regularität impliziert z.B. im einfachsten Fall eines reellwertigen Kozyklus eine Dichotomie, sodaß der Kozyklus entweder ein topologischer Korand (das ist ein dynamisch fast triviales System) oder topologisch ergodisch ist (dann gibt es eine topologisch große Menge von Punkten in X, für welche die Werte des Kozyklus über alle Zeititerationen dicht in den reellen Zahlen sind). Der zweite Teil des Projekts betrifft topologische Kozyklen mit Werten in nichtabelschen nilpotenten Gruppen. Hier sollen ebenfalls Regularitätseigenschaften untersucht werden, aber ganz allgemein kann bemerkt werden, daß sich die Behandlung von topologischen Kozyklen mit Werten in nichtabelschen Gruppen erheblich schwieriger gestaltet. Es existieren in diesem Fall nur Resultate für Kozyklen über einer minimalen Rotation auf einer kompakten, zumindest lokal zusammenhängenden Gruppe, die ihre Werte in einer nilpotenten Gruppe annehmen. Da der Zusammenhang des Raumes X hier unverzichtbar erscheint, sollen in diesem Fall nur Kozyklen über der bereits erwähnten Klasse von distalen minimalen Homeomorphismen auf mehrdimensionalen Tori betrachtet werden.