Dominanz-von PMS zu (Quasi-)Copulas und Anwendungen

Die Eigenschaft der Dominanz hat ihre Wurzeln im Bereich der probabilistischen metrischen Räume (PMS), welche auf einem Konzept von Karl Menger aus dem Jahr 1942 beruhen. Der wesentliche Ansatzpunkt dabei ist, dass der Abstand zwischen zwei Punkten nicht durch eine konkrete Zahl sondern durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für mögliche Abstände angegeben wird. Neben der Dominanz als mathematischer Eigenschaft waren PMS auch Anlass zur Einführung und Untersuchung einer Reihe von Operationen, im speziellen von t-Normen und Copulas. Diese haben in weiterer Folge eine großteils eigenständige Entwicklung, losgelöst von PMS, erfahren und sind darüber hinaus wesentlich in weiteren Bereichen der Mathematik: Während beispielsweise t-Normen eine unerlässliche Rolle bei der Modellierung von Konjunktionen in mehrwertigen Logiken, im speziellen Fuzzy Logiken, spielen, sind Copulas, und davon weiterentwickelt Quasi-Copulas, bedeutend in Bereichen der Statistik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Finanzmathematik. Ähnlich verhält es sich mit der Dominanz, die vor allem als Eigenschaft für Aggregationsoperatoren unahbängig von PMS weiterentwickelt und erforscht wurde, sowie eine essentielle Rolle bei Anwendungen wie flexiblen Datenbankabfragen, Auswertungen computer-unterstützter Testungen oder der Modellierung unscharfer additiver Präferenzstrukturen in Entscheidungs-modellen übernimmt. Im Rahmen dessen hat auch die Erforschung der Dominanz im speziellen als Relation auf der Menge der t-Normen in den letzten Jahren wesentliche Fortschritte erzielt. Die Ziele des Projektes umfassen daher - basierend auf neuesten Erkenntnissen von Dominanz im Bereich der Aggregationsoperatoren - (a) die Untersuchung von Produkten von PMS aber auch von probabilistischen normierten Räume, (b) die Erforschung von Dominanz für (Quasi-)Copulas und daraus abgeleitet (c) die Suche nach weiteren Anwendungen beispielsweise im Bereich der Finanzmathematik.