Clone auf Gruppen

Jede logische Funktion kann mit den Operationen UND, ODER, und NICHT ausgedrückt werden. Tatsächlich sind schon UND und NICHT ausreichend, um alle Funktionen zu bauen, aber UND und ODER nicht. Diese wohlbekannten Tatsachen sind die Basis von Logik und Informatik. In der Booleschen Logik betrachtet man Abbildungen mit 2 Wahrheitswerten. Auch wenn man mehr als 2 Werte zulässt, stellt sich die Frage, welche Funktionen - wenn nicht alle - aus einer gegebenen Menge von Operationen konstruiert werden können. Alle Funktionen, die durch Einsetzen aus einigen gegebenen Funktionen erhalten werden können, bilden einen sogenannten Clone. Die Forschung an Clones ergab sich aus der Logik und ist nun als Teil der Universellen Algebra etabliert. Von besonderem Interesse sind Clone, die von den Operationen einer algebraischen Struktur wie etwa einem Ring oder einer Gruppe erzeugt werden. Solche Clone bestehen aus allen Funktionen, die durch einen Term in der Sprache der Algebra dargestellt werden können. Diese Termfunktionen fassen wichtige Informationen über die Struktur der Algebra wie etwa den Verband ihrer Unteralgebren, Kongruenzen, etc. Unterschiedliche Operationen erzeugen möglicherweise denselben Clone von Termfunktionen. Falls sie das tun, nennt man die zugrundeliegenden Algebren termäquivalent. Indem wir Konstante der Algebra in den Termen, die Funktionen darstellen, zulassen, erhalten wir den Clone der Polynomfunktionen. Das stellt eine echte Verallgemeinerung des bekannten Konzepts der Polynomfunktionen auf kommutativen Ringen (z.B. auf den reellen Zahlen) dar. Ein Ziel diese Projekts ist es Clone, die die Operation einer Gruppe enthalten, auf endlichen Mengen zu charakterisieren. In vielen bekannten Situationen ist der ganze Clone aller Polynomfunktionen auf einer erweiterten Gruppe schon durch die Funktionen, die nur von 2 Variablen abhängen, eindeutig bestimmt. Im Allgemeinen sind Clone aber nicht so einfach zu beschreiben. Ein wichtiger Aspekt dieser Forschung ist es, für bestimmte Klassen von Algebren genau zu bestimmen, welche Parameter ausreichen um die Termfunktionen oder Polynomfunktionen zu charakterisieren. Solche Beschreibungen sollen uns dann in der Behandlung des folgenden, seit langem offenen Problems helfen: Gibt es eine endliche Menge auf der überabzählbar viele Clone existieren, die eine Gruppenoperation oder allgemeiner eine Malcev-Operation enthalten? Falls nicht, würde dies die Hoffnung stützen, dass eine einfache Klassifikation von bestimmten algebraischen Strukuren bis auf Termäquivalenz möglich ist.