Streutheorie für CMV Operatoren und Anwendungen auf vollständig integrable Systeme

Vollständig integrable Wellengleichungen, auch Solitongleichungen genannt, sind ein wichtiges Teilgebiet der Physik, das viele physikalische Phänomene beschreibt. Auch 200 Jahre nach ihrer Entdeckung duch John Scott Russell sind Solitonen von enormen Interesse in der Physik und Mathematik und ihre Erforschung erklärt immer noch neue und faszinierende Phänomene. Eine der stärksten Methoden der Quantenmechanik, vollständig integrable nichtlineare Wellengleichungen zu lösen, ist die so genannte Inverse Streutransformation, die 1967 von Gardner et. al entwickelt und zur Lösung der Korteweg-de Vries Gleichung angewendet wurde. Essenziell für diese Methode ist die Lösung eines zugrundeliegenden Spektralproblems, dem Streuproblem für den zugehörigen Laxoperator. Das Ziel dieses Projektes ist es, das Streuproblem für CMV Operatoren (Maria J. Cantero, Leandro Moral, and Luis Velazquez, 2003) zu lösen, von denen erst kürzlich gezeigt wurde, daß sie die Laxoperatoren für das diskrete Analogon der nichlinearen Schrödingergleichung bilden, dem Ablowitz-Ladik System. Diese Theorie wird es mir im zweiten Teil des Projektes ermöglichen, das Anfangswertproblem für die Ablowitz-Ladik Gleichung zu lösen und in weiterer Folge auch das Anfangswertproblem für eine ganze Hierarchie von Differenzial- Differenzengleichungen, die zum Ablowitz-Ladik System gehören. Diese Hierarchie wird im Zuge des vorliegenden Projektes ebenfalls untersucht, mein Zugang dabei wird über eine so genannte "zero-curvature" Gleichung erfolgen. Dieses Forschungsvorhaben wird zu den Methoden beitragen, Evolutionsgleichungen wie zum Beispiel die Todahierarchie zu lösen. Die nichtlineare Schrödingergleichung beschreibt die Zeitentwicklung von sich langsam ändernden Wellenpaketen kleiner Auslenkung in einem nichtlinearen Medium. Zum Beispiel taucht die nichtlineare Schrödingergleichung in so unterschiedlichen Gebieten wie Tiefwasserwellen, Plasmaphysik, und nichtlinearen optischen Fasern auf.