Singularitätenentstehung in nichtlinearen Wellengleichungen

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) sind ein faszinierendes Teilgebiet der Mathematik mit vielen Anwendungen in den Naturwissenschaften, der Technik und der Ökonomie. Eine spezielle Klasse von PDEs sind sogenannte nichtlineare Wellengleichungen. Dabei handelt es sich um Verallgemeinerungen der bekannten linearen Wellengleichung. Solche Systeme treten häufig in der theoretischen Physik auf. Da es keine allgemeine Theorie gibt, muss jede Gleichung separat analysiert werden, und ein tiefes mathematisches Verständnis für solche Systeme zu entwickeln, stellt eine große Herausforderung dar. Im Rahmen des Projekts sollen offene Probleme betreffend Singularitätenentstehung und Langzeitexistenz für nichtlineare Wellengleichungen studiert werden. Der erste Schritt bei der Untersuchung einer Zeitentwicklungsgleichung ist die Formulierung einer lokalen "Well-Posedness" Theorie, d.h. man studiert Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen sowie deren Abhängigkeit von den Daten für kleine Zeiten. Falls eine lokale Lösung existiert, gibt es im wesentlichen zwei Möglichkeiten: Entweder die Lösung kann für alle Zeiten fortgesetzt werden, oder sie hört nach endlicher Zeit auf zu existieren. Im ersten Fall existiert die Lösung global und im zweiten spricht man von Singularitätenentstehung, "Blow up", oder einfach dem Zusammenbrechen der Lösung. In diesem Zusammenhang stellen sich interessante mathematische Fragen nach der Natur der Singularität und dem Mechanismus, der zum Zusammenbruch der Lösung führt. Solche Fragen sind von fundamentaler Wichtigkeit, denn sie erlauben Rückschlüsse auf den Geltungsbereich des zugrundeliegenden Modells. Das Ziel des Projekts ist es, diese Aspekte für gewisse Wave Map und Skyrme Modelle zu studieren. Wave Maps sind nichtlineare Verallgemeinerungen der Wellengleichung welche über ein geometrisches Wirkungsprinzip definiert sind. Die lokale well-posedness Theorie für Wave Maps ist sehr gut verstanden. Globale Aspekte betreffend gibt es jedoch eine Vielzahl ungelöster Fragen. Es ist bekannt, dass für das Wave Maps System auf dem physikalischen Minkowskiraum mit der 3-Sphäre als Zielmannigfaltigkeit selbstähnliche Lösungen existieren, welche explizite Beispiele für Lösungen mit glatten Anfangsdaten darstellen, die in endlicher Zeit eine Singularität entwickeln. Um dieses Problem studieren zu können, führt man eine äquivariante Symmetriereduktion durch. Basierend auf numerischen Untersuchungen wird vermutet, dass der Grundzustand dieser selbstähnlichen Wave Maps das generische Blow Up Verhalten bestimmt. Es ist ein wichtiges offenes Problem, diese Tatsache mathematisch zu beweisen. Äquivariante Wave Maps auf dem (2+1) dimensionalen Minkowskiraum mit Werten auf der 2-Sphäre zeigen ebenfalls ein interessantes Verhalten bei der Entstehung von Singularitäten, welches eng mit der Existenz von statischen Lösungen zusammenhängt. Die Blow Up Rate ist jedoch nur für Modelle mit hohem Äquivarianzindex bekannt und es ist offen, ob ähnliche Blow Up Lösungen auch für kleine Indizes existieren. Schließlich ist es ein Ziel des Projekts, das Studium von Wave Maps auf räumlich kompakten Mannigfaltigkeiten und dem Skyrme Modell (eine Verallgemeinerung des Wave Map Modells) zu initiieren. Während diese Wave Maps Systeme wenig studiert sind, gibt es numerische Untersuchungen für das Skyrme Modell. In jedem Fall sind für ein Verständnis des Cauchy Problems für diese Systeme weitere numerische und analytische Studien vonnöten.