Messbarkeit in Transporttheorie und Harmonischer Analysis

Es ist ein bekanntes Prinzip der modernen Analysis, dass Verträglichkeit mit einer topologischen (oder maßtheoretischen ) Struktur zusammen mit algebraische Eigenschaften starke Folgerungen zuläßt. Bestes Beispiel dafür sind die Arbeiten D. Montgomerys und L. Zippins zum 5. Hilbertschen Problem. In diesem Fall impliziert die Stetigkeit einer Gruppenoperation bereits deren Analytizität. Ein elementareres Beispiel, wo bereits Messbarkeit ausreicht, um Analytizität sicher zu stellen, sind die Cauchy`schen Funktionalgleichungen: jede Funktion, die f(x+y)=f(x)+f(y) erfüllt ist bekanntlich linear, und daher analytisch. - Optimaler Transport: Es gilt die Rolle der Messbarkeitsvoraussetzungen im Monge-Kantorovich Transportproblem zu untersuchen. Um optimale Transporte zu charakterisieren bedient man sich des Konzepts der c-Monotonie. Es ist Gegenstand aktueller Forschung, Optimalität im Rahmen reiner Messbarkeitsvoraussetzungen befriedigend zu formulieren. Die Monge-Kantorovich Dualität und mit ihr die Existenz und Eindeutigkeit von primalen und dualen Lösungen steht ebenso im Fokus. Dazu sind neben klassischen Methoden der Analysis und Maßtheorie vor allem auch Resultate aus der deskriptiven Mengenlehre nötig. Ziel dieses Projektes ist es auch, die Mittel, welche die Theorie des optimalen Transports bereitstellt, auf Fragen der Gleichverteilung und Konvexgeometrie anzuwenden. - Hartman-Messbarkeit: Hartman-Funktionen treten in der Theorie der Gleichverteilung in Erscheinung. Sie entstehen auf natürliche Art beim Versuch das Riemann-Integral auf allgemeinere Gruppen zu übertragen. Hartman-Funktionen sind aber auch genau jene Funktionen, die messbar bezüglich Stetigkeitsmengen sind und erfüllen daher einen hohen Grad an Regularität. Dennoch sind viele Fragen, die genaue Strukture dieser Funktionen betreffend, noch unbeantwortet. Insbesondere die Rekonstruktion über Fourier-Reihen und die Hartman- Messbarkeit von Fourier-Transformationen sind von Interesse. Auch der dynamische Gesichtspunkt, d.h. das von den Translationen einer Hartman Funktion, oder allgemeiner, von einer sogenannten Banach-fastperiodischen Funktion induzierte System, ist relevant in Hinblick auf Fragen der Komplexität und unendlichen Kombinatorik.