S-Einheitsgleichungen und Ihre Anwendung

Ziel dieses Projektes ist die effektive Lösung von S-Einheitengleichungen in Hinsicht auf Anwendungen. Eine (gewichtete) S-Einheitengleichung ist eine lineare Gleichung in einer endlich erzeugten multiplikativen Untergruppe G von K, wobei üblicherweise K ein Zahlkörper ist und G die Gruppe der S-Einheiten. S-Einheitengleichungen wurden als eigenständiges Objekt und auch im Zusammenhang von Anwendungen untersucht. Diese Untersuchungen wurden von Siegel und Mahler initiiert um zu zeigen, dass nur endlich viele rationale und oder ganzzahlige Punkte auf bestimmten Kurven liegen. Als erster erkannte Lang die Notwendigkeit S-Einheitengleichungen als eigenständiges Problem zu untersuchen. Für S-Einheitengleichungen in drei Variablen ist es möglich diese effektiv mit Hilfe der Bakerschen Methode zu lösen, aber für mehr als drei Variablen sind (bis jetzt) nur ineffektive Methoden, wie der Schmidtsche Teilraumsatz bekannt. In diesem Projekt wollen wir uns nicht nur auf S-Einheitengleichungen (und deren Anwendungen) in Zahlkörper beschränken, sondern auch auf deren Anwendungen für Probleme in globalen Funktionenkörper finden. Im Gegensatz zum Zahlkörperfall sind hier effektive Methoden zu deren Lösung bekannt. Wie bereits erwähnt, können S-Einheitengleichungen auf verschiedene Probleme angewandt werden. So kann man Normgleichungen mit Hilfe von S-Einheitengleichungen lösen. Solche Normgleichungen wurden von zahlreichen Autoren untersucht. In diesem Projekt sollen endliche arithmetische Folgen in der Lösungsmenge von Normgleichungen untersucht werden. Ordnet man die Lösungen in einer n mal H Matrix an, wobei n die Anzahl der Variablen und H die Anzahl der Lösungen ist, unterscheidet man zwischen dem horizontalen (finden von Lösungen die eine arithmetische Folge bilden) und dem vertikalen (finden von Lösungen deren i-te Komponenten eine arithmetische Folge bilden) Problem. Der Antragsteller plant in diesem Projekt beide Fragestellungen zu behandeln. Ein spezieller Fall von Normgleichungen sind sogenannte Thue-Gleichungen. Insbesondere binäre Thue- Gleichungen sollen untersucht werden. Erst vor kurzem wurden solche Gleichungen erfolgreich gelöst durch eine Kombination verschiedener Methoden, wie Frey-Kurven, Theorie der Kreisteilungskörper und Linearformen in Logarithmen. Der Antragsteller beabsichtigt diese Untersuchungen fortzuführen und zu verallgemeinern. Insbesondere sollen binäre Thue-Mahler-Gleichungen und relative binäre Thue-Gleichungen betrachtet werden. Im Jahr 2007 haben Jarden und Narkiewicz eine weitere Anwendung gefunden indem sie zeigten, dass es keine Zahl k gibt, sodass jede algebraisch ganze Zahl aus einem festen Zahlkörper als Summe von exakt k Einheiten geschrieben werden kann. Darüberhinaus zeigten sie, dass dies auch für jeden endlich erzeugten Bereich gilt und somit die nicht Endlichkeit der Einheitensummenzahl (unit sum number - siehe Antrag). Wie dem auch sei, es bleibt die Frage welche Zahlkörper die Eigenschaft haben, dass jede algebraisch ganze Zahl als Summe von Einheiten geschrieben werden kann. Der quadratische Fall wurde von Ashrafi, Belcher und Vamos, der komplexe kubische, der komplexe rein quartische und der komplexe bi-quadratische Fall wurde vom Antragsteller in Zusammenarbeit mit Filipin und Tichy gelöst. Weiters führten Untersuchungen von S-Einheitengleichungen zu einer asymptotischen Formel für die Anzahl von nicht assoziierten algebraisch ganzen Zahlen, die dargestellt werden können als Summe von exakt k Einheiten. Dieses Projekt soll diese Untersuchungen fortführen. So sollen auch mehrere Verallgemeinerungen des Einheitensummen-probelms untersucht werden. Dieses Projektes soll an der Universität von Debrecen in Zusammenarbeit mit der Zahlentheoriegruppe von Kalman Györy durchgeführt werden. Györys` Gruppe besteht aus führenden Experten im Bereich der S-Einheiten- gleichungen und somit sind die Bedingungen dort optimal um an dem Projekt erfolgreich arbeiten zu können.