Reglerentwurf für multidimensionale Behaviours

Das Ziel dieses Projektes aus dem Bereich der mathematischen Systemtheorie ist der Entwurf und die Parametrisierung stabilisierender Regler, die zusätzliche Aufgaben wie zum Beispiel Störungskompensation (disturbance rejection), Signalnachführung (tracking) und Signalanpassung (model matching) erfüllen. Diese Reglerentwurfsprobleme werden für mehrdimensionale lineare Systeme untersucht und mittels Behaviours beschrieben. Im Allgemeinen beinhalten die Anforderungen an einen Regler einen Vernachlässigbarkeitsbegriff, beispielsweise soll ein Referenzsignal bis auf eine vernachlässigbare Abweichung reproduziert werden. Um dies zu berücksichtigen, werden wir nach Bedarf Methoden für polynomiale Matrizen sowie Serre-Unterkategorien und Gabriel-Lokalisierung verwenden. Mit diesen Techniken können wir verschiedene Arten von Vernachlässigbarkeit in einem einheitlichen mathematischen Rahmen behandeln. Standardbeispiele, auf die diese Methoden anwendbar sind, sind die Hurwitz-stabilen Signale im kontinuierlichen Fall linearer partieller Differentialgleichungen und die Schur-stabilen Signale, wenn partielle Differenzengleichungen untersucht werden. Zusätzlich dazu soll die Robustheit der Regler unter kleinen Fehlern in ihrer Realisierung sowie unter kleinen Variationen der Daten, die das gegebene System beschreiben, analysiert werden.

Die zwei Hauptergebnisse dieses Projekts sind einerseits im Bereich der mathematischen Systemtheorie die Charakterisierung und die Parametrisierung stabilisierender Regler, die zusätzliche Aufgaben wie Störungskompensation und Signalnachführung erfüllen, und andererseits im Gebiet der Computeralgebra eine vervollständigte Theorie der Gröbnerbasen für Moduln über Monoidalgebren sowie ein neuer und effizienter Algorithmus für die Berechnung dieser Gröbnerbasen.Wir haben die Reglerentwurfsprobleme (erstes Ergebnis) für mehrdimensionale lineare Systeme untersucht und mittels Behaviours beschrieben. Im Allgemeinen beinhalten die Anforderungen an einen Regler einen Vernachlässigbarkeitsbegriff, beispielsweise soll ein Referenzsignal bis auf eine vernachlässigbare Abweichung reproduziert werden. Um dies zu berücksichtigen, haben wir die Methode der Serre-Unterkategorien und der Gabriel-Lokalisierung verwendet. Diese Techniken haben es uns erlaubt, verschiedene Arten von Vernachlässigbarkeit in einem einheitlichen mathematischen Rahmen zu behandeln. Standardbeispiele, auf die diese Methode anwendbar ist, sind die Hurwitz-stabilen Signale im kontinuierlichen Fall linearer partieller Differentialgleichungen und die Schur-stabilen Signale, wenn partielle Differenzengleichungen untersucht werden.Die untersuchten Monoidalgebren (zweites Ergebnis) bestehen aus Polynomen in mehreren Veränderlichen, wobei nur gewisse Exponenten zugelassen sind ? diese können aber durchaus auch negativ sein (z.B. x2y-3+2xz-1). Es muss jedoch gewährleistet sein, dass das Produkt zweier solcher verallgemeinerten Polynome wiederum ein Element der Monoidalgebra ist, was zu der Bedingung führt, dass die Exponenten ein Untermonoid des ganzzahligen Gitters bilden müssen. Die Gröbnerbasen spielen für Polynome in mehreren Variablen unter anderem die Rolle, die der größte gemeinsame Teiler für Polynome in einer Variablen spielt, und sind eine bedeutende Standardmethode im Gebiet der Computeralgebra. Mit den Resultaten dieses Projekts kann diese Methode nun in weit allgemeineren Situationen eingesetzt werden als bisher.