Asymptotische Arbitrage Für Einige Große "Fractional" Märkte

Ein großer Finanzmarkt wird dargestellt durch eine Folge von "Modellen", und, auch wenn jedes von diesen arbitragefrei ist, können Investoren risikofreie Profite im Limes erwirtschaften. Das Studium asymptotischer Arbitrage in stetiger Zeit wurde von Kabanov und Kramkov eingeführt, gefolgt von Klein und Schachermayer (für große Märkte ohne Transaktionskosten), und von Lépinette, Klein und Perez-Ostafe (für Märkte mit Transaktionskosten). In diesem Projekt vertiefen wir das Studium großer Märkte, diesmal gegeben durch eine Folge von Märkten, welche das "fractional" Black-Scholes Modell approximieren. Wie bei Lépinette, Klein und Perez-Ostafe ist jedes Marktmodell der approximierenden Folge Transaktionskosten ausgesetzt. Wir betrachten zwei solche Approximationen. Die erste ist durch eine Folge von Binärmodellen, wie sie von Sottinen definiert worden sind, gegeben. Ausgehend von den Resultaten von Cordero, Klein und Ostafe wollen wir, für jedes binäre Marktmodell der betrachteten Folge, die kleinsten Transaktionskosten charakterisieren, ab welchen man ein konsistentes Preissystem (CPS) konstruieren kann. Ist dies einmal bekannt, zielen wir darauf ab, das Fehlen asymptotischer Arbitrage durch die Konvergenzrate nach Null der Transaktionskosten zu charakterisieren. Der zweite große Finanzmarkt ist durch eine Folge von "mixed fractional" Black-Scholes Modellen gegeben, welche wieder Transaktionskosten ausgesetzt sind. Wir decken zwei Fälle ab, in Abhängigkeit davon, ob der Hurst Parameter größer als ist oder nicht. Unser Ausgangspunkt für die Charakterisierung des Fehlens asymptotischer Arbitrage ist die Arbeit von Cheridito.

Das Projekt befasst sich mit dem Studium der Arbitragemöglichkeiten in Anwesenheit von Transaktionskosten in einer Folge von Märkten (genannt großer Finanzmarkt), welche das sogenannte fraktionale BlackScholes (fBS) Modell approximieren. Zwei solche Approximationen werden untersucht: 1) eine Folge von Binärmodellen und 2) eine Folge von mixed fBS Modellen. Bei Folgen von Finanzmarkten ist der ubliche Begriff der Arbitrage durch den Begriff der asymptotischen Arbitrage (AA) zu ersetzen. Unser Ziel ist es daher, die Anwesenheit der AA unter Transaktionskosten in den beiden gewählten großen Finanzmarkten zu charakterisieren.1) Wir betrachten die Folge von Binärmodellen, die von Sottinen konstruiert und fraktionale Binärmärkte (fBM) genannt wurden. In einem Binärmarkt ohne Transaktionskosten kann die Abwesenheit der Arbitrage als eine Familie von Bedingungen auf Knoten eines Binärbaums geschrieben werden. Wir nennen Arbitragepunkt einen Knoten, der eine solche Bedingung nicht erfüllt, und Arbitrageweg einen Weg, der mindestens einen Arbitragepunkt kreuzt. Wir erstellen eine detaillierte Analyse des asymptotischen Anteils der Arbitragepunkte und der Arbitragewege in den fBM. Wenn Transaktionskosten berücksichtigt werden, bestimmen wir, durch einen konstruktiven Ansatz, die Große der Transaktionskosten, welche die Arbitrage von diesen Modellen entfernen, zuerst mit Bezug auf jeden festen fBM und dann unter Betrachtung der gesamten Folge der fBM als einen großen Finanzmarkt. Wir konstruieren, nur durch 1Schritt Handelsstrategien, eine AA, wenn die Transaktionskosten genügend schnell nach Null konvergieren, wohingegen wir beweisen, dass für konstante Transaktionskosten keine solche Möglichkeit existiert. Schließlich erstellen wir, durch Handelsstrategien außerhalb des 1Schritt Rahmens, eine starke AA ohne Transaktionskosten, aber auch für genügend schnell nach Null konvergierende Transaktionskosten.2) Wir betrachten eine Familie von mixed Prozessen, gegeben durch eine Summe einer fraktionalen Brownschen Bewegung und einem Vielfachen einer unabhängigen Brownschen Bewegung, und indiziert durch den Skalierungsfaktor vor der Brownschen Bewegung. Wir analysieren, aus der Perspektive großer Finanzmarkte, die Folge der BlackScholes Modelle, welche durch solche mixed Prozesse ohne Transaktionskosten angetrieben werden. Genauer gesagt beweisen wir die Existenz einer starken AA, wenn der Skalierungsfaktor nach Null konvergiert.