Die Spektraltransformation für die Camassa-Holm Gleichung

Seit ihrer Entdeckung durch Clifford Gardner, John Greene, Martin Kruskal und Robert Miura im Jahr 1967 wurde die Inverse Streu-/Spektraltransformation zu einem bedeutenden Hilfsmittel zur Lösung vollständig integrabler Systeme entwickelt. Der Kern dieser Methode liegt in der Beobachtung, dass der Fluss einiger nichtlinearer Wellengleichungen in einen einfachen linearen Fluss bestimmter Streu- oder Spektraldaten einer zugehörigen Familie von Differentialoperatoren transformiert werden kann. Nachdem diese Methode ursprünglich eingeführt wurde um die Kortewegde Vries Gleichung zu lösen, wurde sie inzwischen auch auf verschiedene andere nichtlineare Wellengleichungen verallgemeinert. Eine dieser Gleichungen ist die CamassaHolm Gleichung, welche ein Modell für die unidirektionale Wellenausbreitung in seichtem Wasser über einem ebenen Grund ist. Die bemerkenswerteste Eigenschaft der CamassaHolm Gleichung ist die Tatsache, dass sie auch das Brechen von Wellen beschreibt. In der Tat können selbst glatte Anfangswerte zum Wellenbrechen führen, wobei die Welle selber beschränkt bleibt, jedoch immer steiler und schlussendlich vertikal wird. Aufgrund all dieser Eigenschaften wurde in den letzten zwei Dekaden viel Arbeit in die Erforschung der CamassaHolm Gleichung investiert. Insbesondere konnte gezeigt werden, dass es immer möglich ist Lösungen über das Wellenbrechen hinaus fortzusetzen, indem man geeignete schwache Lösungen betrachtet. Um hierbei jedoch Eindeutigkeit zu erhalten, muss man (zum Beispiel) zusätzlich fordern, dass die Energie von Lösungen erhalten bleibt, was zum Begriff der globalen konservativen Lösungen der CamassaHolm Gleichung führt. Das entsprechende Streu-/Spektralproblem für die CamassaHolm Gleichung ist ein bestimmtes SturmLiouville Problem mit einem (im Allgemeinen) indefiniten Gewicht. Aufgrund der vielen Schwierigkeiten, welche durch indefinite Gewichte entstehen, sind Resultate in diesem Fall immer noch sehr rar. Es ist das Hauptziel dieses Projekts, die Inverse Streu-/Spektraltransformation für die CamassaHolm Gleichung weiterzuentwickeln. Genauer gesagt schlage ich ein verallgemeinertes Streu-/Spektralproblem vor, welches vermutlich zu einer Inversen Streu- /Spektraltransformation für globale konservative Lösungen der CamassaHolm Gleichung führen wird. Dieser neue Zugang scheint sehr vielversprechend zu sein und ich vermute, dass er zukünftige Entwicklungen in Zusammenhang mit der konservativen CamassaHolm Gleichung vorwegnimmt. Die Hauptaufgaben bestehen darin, direkte und inverse Streu-/Spektraltheorie für dieses verallgemeinerte Streu-/Spektralproblem zu entwickeln, sowie die Verbindung mit dem konservativen CamassaHolm Fluss herzustellen.

Seit ihrer Entdeckung im Jahr 1967 wurde die Inverse Streu-/Spektraltransformation zu einem bedeutenden Hilfsmittel zur Losung vollständig integrabler Systeme entwickelt. Der Kern dieser Methode liegt in der Beobachtung, dass der Fluss einiger nichtlinearer Wellengleichungen in einen einfachen linearen Fluss bestimmter Streu- oder Spektraldaten einer zugehörigen Familie von Differentialoperatoren transformiert werden kann. Es war das Hauptziel des Projekts, diese Methode für die Camassa-Holm Gleichung, welche als ein Modell für die unidirektionale Wellenausbreitung in seichtem Wasser über einem ebenen Grund auftritt, zu implementieren. Insbesondere beinhaltete dies, direkte und inverse Spektraltheorie für ein verallgemeinertes Sturm-Liouville Problem mit einem indefiniten Gewicht von schwacher Regularität zu untersuchen. Eine der bemerkenswertesten Eigenschaften der Camassa-Holm Gleichung ist die Tatsache, dass sie auch Lösungen erlaubt welche bis zu einem gewissen Grad das Brechen von Wellen beschreiben. Die Komplikationen im Zusammenhang damit tauchen auch für das zugehörige inverse Spektralproblem auf und sind der Hauptgrund warum die Inverse Spektraltransformation zuvor noch nicht für die Camassa-Holm Gleichung umgesetzt werden konnte. Während des Projekts wurden neue Methoden für verallgemeinerte Sturm-Liouville Probleme mit indefiniten Gewichten von schwacher Regularität entwickelt um diese Schwierigkeiten zu bewältigen. Aufgrund dessen war es schließlich möglich, die Inverse Spektraltransformation für die Camassa-Holm Gleichung mit abfallenden Anfangsprofilen zu implementieren. Die Resultate welche aus dem Projekt hervorgingen führten zu einem neuen Verständnis des konservativen Camassa-Holm Flusses.