Graphen und Gruppen

Gruppen sind mathematische Objekte, die in gewisser Weise als abstraktes Modell für Symmetrie verstanden werden können. Das Konzept entstand Mitte des 19. Jahrhunderts, Gruppentheorie ist aber nach wie vor ein aktives Forschungsfeld in der Mathematik. Das ist nicht zuletzt der Tatsache geschuldet, dass Symmetrien nicht nur in der Mathematik, sondern auch in vielen Naturwissen- schaften wie Physik und Chemie, sowie in der Informatik eine große Rolle spielen. In der geometrischen Gruppentheorie untersucht man abstrakte Eigenschaften von Gruppen nicht direkt, sondern über einen Umweg: Man studiert Cayleygraphen, geometrische Objekte, die alle Informationen über die Struktur der Gruppe enthalten. Im allgemeinen gibt es zu einer Gruppe viele verschiedene Cayleygraphen. Als geometrische Gruppeneigenschaft bezeichnet man in die- sem Zusammenhang eine Eigenschaft dieser Cayleygraphen, die nur von der Gruppe und nicht von der Wahl des Graphen abhängt. Einige besonders interessante geometrische Gruppeneigenschaften stehen in engem Zusammen- hang mit Zufallsprozessen, die auf diesen Graphen stattfinden. Ursprünglich von Anwendungen aus der Physik motiviert hat das Studium solcher Zufallsprozesse mittlerweile ein mathematisches Eigenleben entwickelt und ist ein aktives und schnell wachsendes Forschungsgebiet innerhalb der Mathematik. Das Projekt Graphen und Gruppen soll zum besseren Verständnis von Zufallsprozessen auf Cay- leygraphen beitragen. Zu diesem Zweck werden wir zwei komplementäre Forschungsrichtungen verfolgen: Im ersten Teil des Projektes werden wir ein Forschungsprojekt fortführen, dessen Ziel die Erfor- schung von sogenannten Graphen-Kranzprodukten von Gruppen ist. Diese sind vor allem deshalb interessant, weil sich mit ihrer Hilfe potenziell Gruppen mit unerwarteten Eigenschaften konstruie- ren lassen. Das könnte unter anderem zu einem Gegenbeispiel zu einem vermuteten Zusammen- hang zwischen Cost und l2-Bettizahlen von Gruppen führen. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Suche nach Teilstrukturen in Cayleygraphen, die das Stu- dium von Zufallsprozessen deutlich vereinfachen könnten. Ziel hierbei ist es, bestimmte Graphen (Gitter und Bäume) als geeignet eingebettete Teilstrukturen zu finden. Da Zufallsprozesse auf Git- tern und Bäumen vergleichsweise gut erforscht sind kann dies erheblich dazu beitragen, solche Prozesse auch auf allgemeineren Cayleygraphen zu verstehen.

Graphen sind mathematische Strukturen bestehend aus Knoten und verbindungen zwischen diesen Knoten (Kanten). Sie können als abstraktes Modell für Netzwerke betrachtet werden, können aber auch geometrischer Räume approximieren, indem man Punkte des Raumes als Knoten wählt und zwei Knoten verbindet, wenn die entsprechenden Punkte nah beisammen liegen. Gruppen sind algebraische Strukturen, die ein abstraktes Modell für Symmetrien bilden. Dies beinhaltet alltägliche Symmetiebegriffe wie etwa Spiegelsymmetrie, aber auch deutlich komplexere Arten von Symmetrien - es ist üblich sämtliche strukturerhaltenden Abbildungen als Symmetrien zu bezeichnen. Graphen und Gruppen sind eng miteinander verküpft. Einerseits besitzen viele interessante Graphen einen hohen Grad an Symmetrie, anders gesagt, sie sehen an allen Knoten ähnlich aus. Andererseits können wir Gruppen anhand ihrer Cayleygraphen studieren, das sind Graphen, die vielfältige Informationen über die Gruppe in sich tragen. Die meisten Graphen und Gruppen, die in diesem Projekt betrachtet wurden, sind unendlich groß. Tatsächlich machen einige der Hauptresultate überhaupt erst Sinn, wenn die zugrundeliegenden Strukturen unendlich sind. Genauer gesagt betrachten wir für unsere Hauptresultate Graphen, die durch entfernen von endlich vielen Knoten in zwei Teile zerfallen zwischen denen keine Verbindung besteht. Es ist bekannt, dass solche Graphen durch baumartiges Zusammenkleben kleinerer Graphen erzeugt werden können. Das erste Hauptresultat dieses Projekts besagt, dass dies für hochsymmetrische Graphen so gemacht werden kann, dass alle Teile zusammenhängend und hochsymmetrisch sind, und alle Teile und die Art wie sie zusammengeklebt sind einander ähnlen. Solche Zerlegungen können hilfreiche Werkzeuge im Studium hochsymmetrischer Graphen sein. Angenommen, ein Problem ist auf den einzelnen Teilen leicht lösbar. Um dasselbe Problem auf dem zusammengeklebten Graphen zu lösen kann es ausreichen, es zuerst auf den einzelnen Teilen zu lösen und dann zu überprüfen, wie die Einzellösungen entlang der Klebestellen zusammenpassen. Das zweite Hauptresultat dieses Projekts ist eine Anwendung der eben skizzierten Vorgangsweise. Ein selbstvermeidender Pfad auf einem Graphen ist ein Prozess, bei dem wir uns entlang der Kanten von Knoten zu Knoten bewegen, aber keinen Knoten mehr als einmal besuchen dürfen. Um das Langzeitverhalten dieses Prozesses zu studieren ist es unabdingbar, die ungefähre Anzahl der selbstvermeidenden Pfade einer gewissen Länge zu kennen, allerdings gibt es nur wenige Graphen, für die diese Anzahl bekannt ist. Wir konnten zeigen, dass ein selbstvermeidender Pfad aus sogenannten Konfigurationen auf den Teilen zusammengeklebt werden kann. Falls alle Teile endlich sind, dann können wir somit die Anzahl der selbstvermeidenden Pfade bestimmen. Beispielsweise erlaubt dies die Bestimmung der Anzahl der selbstvermeidenden Pfade aller Cayleygraphen von Gruppen die virtuell frei sind (eine Eigenschaft, die hier nicht näher definiert werden soll), desweiteren erlaubt es uns, eine Verbindung zwischen selbstvermeidenden Pfaden auf solchen Gruppen und einer Klasse formaler Sprachen herzustellen.