Die Lieb–Oxford Ungleichung in der Quantenmechanik

Viele Eigenschaften von Atomen und Molekülen können durch die Elektronenstruktur und die Grundzustandsenergie bestimmt werden. Die Berechnung dieser Energien mit herkömmlichen Methoden ist sehr aufwendig, was zur Entwicklung der Dichtefunktionaltheorie geführt hat. Während Eigenschaften eines quantenmechanischen Systems normalerweise durch eine Wellenfunktionbeschriebenwerden,verwendetdie Dichtefunktionaltheorie nur die Ladungsdichte, um eine höhere Recheneffizienz zu erzielen. Um beispielsweise die Coulombenergie eines Quantensystems zu approximieren, kann ein klassischer Ausdruck herangezogen werden, der nur von der Ladungsdichte abhängt. Dieser Ausdruck stimmt im Allgemeinen allerdings nicht mit der echten Coulombenergie überein, die von der Wellenfunktion des Systems abhängt. Die LiebOxford Ungleichung liefert eine untere Schranke für den Fehler. Seit ihrem Beweis im Jahr 1979 hat diese Ungleichung eine bedeutende Rolle in der Quantenmechanik gespielt und sich als wichtiges Instrument für die Approximation der Coulombenergie in der Dichtefunktionaltheorie etabliert. In diesem Forschungsprojekt sollen zwei Verbesserungen der LiebOxford Ungleichung behandelt werden. Diese sollten zu präziseren Berechnungen von Grundzustandsenergien und Elektronenstrukturen führen. Die Ungleichung enthält eine Konstante, für die nur untere und obere Schranken bekannt sind. Der erste Teil des Forschungsprojektes wird den Wert dieser Konstante in Abhängigkeit von der Anzahl der Teilchen im System untersuchen. Im Spezialfall eines einzelnen Teilchens ist dieses Problem vollständig gelöst und die Konstante explizit bekannt. Es existiert sogar ein Quantensystem, für das die Ungleichung zu einer Gleichung wird. In den letzten dreißig Jahren konnte nicht bestimmt werden, ob für zwei Teilchen ebenfalls ein solches minimierendes System existiert. Ich plane diese Frage mit Hilfe neuer Resultate aus der Theorie der Transportprobleme zu beantworten. Diese Resultate erlauben es, das Minimierungsproblem auf eine spezielle Klasse von Quantensystemen einzuschränken. Anschließend könnten die Methoden auf den Fall von mehr als zwei Teilchen ausgedehnt werden. Ein anderer Zugang zur Verbesserung der LiebOxford Ungleichung besteht darin, spezifische Eigenschaften der betrachteten Moleküle miteinzubeziehen. Die meisten Moleküle sind spin-unpolarisiert und die Dichtefunktionaltheorie erzielt besonders gute Resultate für solche Systeme. Diese spezielle Eigenschaft wurde bisher allerdings nicht in der LiebOxford Ungleichung berücksichtigt. Ich werde versuchen, eine mathematische Vermutung zu lösen, die besagt, dass im Falle eines spin-unpolarisierten Systems die oben erwähnte Konstante nicht von der Anzahl der Teilchen abhängt. Um das Problem zu lösen, kann die Vermutung in Verbindung zu einer prägnanten Ungleichung für orthonormale Funktionen gebracht werden, die auch allgemein von mathematischem Interesse ist.