Idealfaktorisierung in kommutativen Ringen und Monoiden

Zur Beantwortung verschiedener Fragen im Gebiet der Zahlentheorie ist es erforderlich allgemeinere Zahlbereiche zu untersuchen. Diese stellen Erweiterungen der ganzen Zahlen dar (wie die Gaußschen Zahlen). So kann z.B. das Problem der Darstellbarkeit von positiven ganzen Zahlen als Summe von zwei Quadraten mit Hilfe der Gaußschen Zahlen gelöst werden. Die Elemente in diesen Erweiterungen sind jedoch meist weniger handlich als die ganzen Zahlen, da sie keine Zerlegbarkeit in verallgemeinerte Primzahlen haben müssen. Ein Lösungsansatz für dieses Problem besteht in der Betrachtung von speziellen Mengen von Zahlen, sogenannten Idealen. Ähnlich wie Zahlen lassen sich auch (klassische) Ideale addieren und multiplizieren und es stellt sich die Frage in welcher Form sich Ideale als Produkt von anderen Idealen darstellen lassen. Dabei stehen vor allem Zerlegungen in Primideale und deren Verallgemeinerungen im Vordergrund da diese, in gewisser Weise, die Rolle von verallgemeinerten Primzahlen einnehmen. Das Ziel des Forschungsvorhabens ist es Produktzerlegungen von Idealen (die auch Idealfaktorisierungen genannt werden) in Verallgemeinerungen von Primidealen zu studieren und das Wissen über diese Zerlegungen auf Produktzerlegungen in Elemente anzuwenden. Viele wissenschaftliche Arbeiten haben sich mit dieser Problemstellung beschäftigt. So wurden etwa Zerlegungen von Idealen in primäre Ideale und radikale Ideale. In diesem Forschungsvorhaben wird Wert auf möglichst große Allgemeinheit der Resultate gelegt. So ist es etwa möglich andere Idealtheorien als die klassische Idealtheorie (wie z.B. die v-Idealtheorie) zu betrachten, welche Produktzerlegungen in Elemente besser beschreiben können. Dabei gibt es auch eine Reihe von Phänomenen die in der klassischen Situation nicht auftreten. Zum anderen ist es möglich Idealtheorie rein multiplikativ (d.h. ohne eine Addition) zu betreiben. Dies führt zur Untersuchung von Objekten (sogenannte Monoide)mit einer rein multiplikativen Struktur. Eine Methode zur Lösung dieser Probleme besteht in der Einordnung der untersuchten Objekte in der vorhandenen Literatur. Es werden Eigenschaften gesucht die von diesen Objekten (und nur von diesen Objekten) erfüllt werden. Eine weitere Methode ist es die Diskrepanz zwischen Idealzerlegungen und Elementzerlegungen mit Hilfe von sogenannten Klassengruppen zu studieren. Zu guter letzt gilt es eine Vielzahl von Beispielen anzugeben um damit die Reichweite der zu studierenden Objekte eingrenzen zu können. Das Besondere an diesem Forschungsvorhaben ist es bestimmte Probleme im Zusammenhang mit Idealfaktorisierungen in noch nicht dagewesener Allgemeinheit zu studieren. Dabei sollen vor allem Erkenntnisse gewonnen werden, die dabei helfen die klassische Situation besser zu verstehen und die das bestehende Wissen über Idealfaktorisierungen ergänzen und vertiefen.

Idealfaktorisierung in kommutativen Ringen und Monoiden Zusammenfassung für die Öffentlichkeitsarbeit Das Projekt lag in der Überlappung der Gebiete der multiplikativen Idealtheorie und der Faktorisierungstheorie. Zunächst geben wir einen kurzen Einblick in die (für das Projekt relevante) Begriffswelt. Es ist wohlbekannt, dass sich jede positive ganze Zahl als Produkt von Primzahlen (bzw. Primelementen) darstellen lässt. Dieser Fakt ist auch als Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie bekannt. Allgemein werden Integritätsbereiche, deren Elemente die vorher genannte Art von Produktzerlegungen besitzen, als faktorielle Bereiche bezeichnet. Neben den Elementen eines Integritätsbereichs lässt sich auch eine Zerlegungstheorie für bestimmte Mengen von Elementen von Integritätsbereichen entwickeln. Diese Mengen von Elementen werden Ideale genannt. Es gibt auch ein idealtheoretisches Analogon der faktoriellen Bereiche, nämlich die sogenannten Dedekindbereiche. Genauer wird ein Integritätsbereich als Dedekindbereich bezeichnet, wenn sich jedes seiner Ideale als Produkt von Primidealen darstellen lässt. Die Haupterrungenschaft des Projekts war es verschiedene Verallgemeinerungen von faktoriellen Bereichen und Dedekindbereichen zu studieren. Eine Möglichkeit der Verallgemeinerung ist es Primelemente bzw. Primideale durch radikale Elemente bzw. radikale Ideale zu ersetzen. Eine weitere Möglichkeit stellt die Untersuchung von anderen Strukturen (wie etwa von kürzbaren Monoiden) dar. So bilden z.B. die natürlichen Zahlen (zusammen mit der Multiplikation) ein kürzbares Monoid. Auch für kürzbare Monoide gibt es eine reichhaltige Idealtheorie und verschiedene Arten von Produktzerlegungen (ihrer Elemente und Ideale). Es ist eine Reihe verschiedener Charakterisierungen von faktoriellen Bereichen und Dedekindbereichen bekannt. So ist etwa ein Integritätsbereich ein Dedekindbereich genau dann, wenn jedes seiner von Null verschiedenen Ideale invertierbar ist. Es war ein wichtiges Projektziel, ähnliche Charakterisierungen für die abstrahierten Begriffe zu finden. So wurden etwa SP-Bereiche und w-SP-Monoide (welche eine Erweitung von Dedekindbereichen darstellen) charakterisiert. Zudem wurden auch radikal faktorielle Monoide und Bewertungsfaktorisierungsbereiche gekennzeichnet. (Die vorhin genannten Konzepte erweitern die Klasse der faktoriellen Bereiche.) Eine weitere Errungenschaft des Projekts war es spezielle Konstruktionen (wie etwa Monoidringe und Nagataringe) in Bezug auf die vorher genannten Variationen von faktoriellen Bereichen und Dedekindbereichen zu untersuchen. Als Folge dieser Untersuchungen konnte eine reichhaltige Klasse von nichttrivialen Beispielen von w-SP-Bereichen und radikal faktoriellen Bereichen angegeben werden. Neben dem Nachweis der Existenz und der Kennzeichnung bestimmter Faktorisierungen (d.h. Produktzerlegungen) in Elemente und Ideale, war es auch das Ziel des Projekts die mögliche Struktur dieser Zerlegungen zu studieren. Dabei wurden verschiedene Invarianten definiert und betrachtet (wie etwa der Verkettungsgrad oder die Elastizität), welche die Eigenschaften von Faktorisierungen beschreiben. Im Rahmen des Projekts konnte eine Reihe dieser Invarianten (für Monoide von Idealen) von Ordnungen in quadratischen Zahlkörpern berechnet werden.