Affine Abbildungen auf endlichen Gruppen

Heutzutage möchte man oft Zufall auf elektronischen Geräten simulieren (man denke etwa an einen MP3-Player, der zufällig Tracks aus einer bestimmten Playlist abspielt). Dazu nutzt man bestimmte Rechenverfahren, um den nächsten Output aus dem vorherigen zu berechnen, sodass die resultierende Output-Liste für jemanden, der das Rechenverfahren nicht kennt, zufällig aussieht. Zudem nutzt man in der modernen Kryptographie bestimmte Rechenverfahren, um die Information, die man schützen möchte, in etwas zu transformieren, das potentielle AbhörerInnen nicht zurückverwandeln können, da ihnen eine mit den Rechnungen in Zusammenhang stehende geheime Information fehlt, die nur der/die beabsichtigte EmpfängerIn kennt. Beide Beispiele haben gemeinsam, praktische Anwendungen gewisser von MathematikerInnen entwickelter Rechenverfahren zu sein, mit unterschiedlichen formalen Anforderungen an das Verfahren in jedem Fall. Diese Berechnungen sind nicht gewöhnliche Rechnungen mit Zahlen, sondern finden in bestimmten endlichen algebraischen Strukturen, genannt Gruppen, statt. Bisher sind gewisse Aspekte solcher für die Praxis geeigneter Rechenverfahren nur auf bestimmten endlichen Gruppen gut untersucht und verstanden, nämlich solchen mit einer besonders schönen Struktur (in denen das Kommutativgesetz gilt), und es ist interessant zu wissen, ob man mittels Gruppen mit einer komplizierteren Struktur gleich gute oder sogar noch bessere Ergebnisse erzielen könnte. Unter anderem darum geht es in unserem Projekt Affine Abbildungen auf endlichen Gruppen. Genauer werden wir drei Problemkreise untersuchen, zwei davon aus der Praxis motiviert, und sie attackieren, indem wir mit mathematischen Methoden exakte Resultate beweisen. Erstens werden wir eine theoretische Rechtfertigung für mehrere klassische Rechenverfahren zur Simulation von Zufall anstreben, und zwar durch eine Klassifikation aller sogenannten affinen Abbildungen (einer bestimmten Art von Rechenverfahren), die einer bestimmten Minimal- Anforderung für praktische Anwendbarkeit genügen. Zweitens werden wir, motiviert durch Kryptographie, Schranken für Maße dafür, wie stark nicht- affin ein Rechenverfahren auf einer endlichen Gruppe ist, herleiten. Unter anderem hoffen wir, dadurch die Frage beantworten zu können, ob man bezüglich dieses Aspektes mit Gruppen, in denen das Kommutativgesetz nicht gilt, bessere Ergebnisse erzielen kann. Schließlich werden wir auch das Problem, eine besonders schöne Form von affiner Abbildung (genannt Automorphismus) auf einer endlichen Gruppe aus gewissen Informationsfragmenten über sie zu rekonstruieren, studieren. Dies ist ein wichtiges (und schwieriges) Problem, und wir werden Bezüge zu einem ähnlichen, gut untersuchten Problem aus der Gruppentheorie herstellen.

Eine Rechenstruktur ist eine Menge von Objekten (zum Beispiel Zahlen), mit denen man rechnen kann (zum Beispiel, weil sich je zwei dieser Objekte addieren oder multiplizieren lassen). Endliche Gruppen im mathematischen Sinne sind gewisse Arten von Rechenstrukturen, die unter anderem in der Untersuchung der Symmetrien geometrischer Objekte und in der Nachrichten-Verschlüsselung Anwendung finden. Endliche Gruppen haben aber auch selbst Symmetrien (in einem bestimmten abstrakten Sinne), und ebenso wie man durch das Untersuchen der Symmetrien eines geometrischen Objektes Dinge über dieses Objekt lernen kann, kann man auch endliche Gruppen durch das Studium ihrer Symmetrien besser verstehen. Viele bekannte Resultate bezüglich der Symmetrien endlicher Gruppen sind qualitativer Natur - zum Beispiel beschäftigen sie sich mit Annahmen bezüglich aller Symmetrien, oder sie nehmen an, dass gewisse Maßzahlen im Zusammenhang mit Symmetrien so groß wie möglich sind. Dieses Projekt hingegen hat sich hauptsächlich mit quantitativen Fragestellungen bezüglich Symmetrien endlicher Gruppen beschäftigt, beziehungsweise bezüglich eines etwas allgemeineren Konzeptes namens "affine Abbildungen" (welches für das Projekt namensgebend war). Viele der im Projekt erhaltenen Resultate können als quantitative Verallgemeinerungen bekannter qualitativer Resultate gesehen werden. Im Folgenden stelle ich ein Beispiel vor, das ich zu den bedeutendsten Resultaten dieses Projektes zähle. Sagen wir, ein geometrisches Objekt wie zum Beispiel ein Würfel heiße "maximal symmetrisch", wenn das Objekt durch Symmetrien so gespiegelt und gedreht werden kann, dass je zwei Ecken des Objektes ineinander überführbar sind. Das ist eine qualitative Definition, und in einem allgemeineren, quantitativen Sinne kann man ein geometrisches Objekt als "hochsymmetrisch" definieren, wenn nicht unbedingt alle, aber zumindest "viele" Ecken des Objektes so ineinander überführbar sind. Das ist bewusst vage formuliert, damit man die Freiheit hat, unterschiedliche Definitionen für "viele Ecken" zu wählen und zu untersuchen, wie zum Beispiel "mehr als die Hälfte aller Ecken", oder "mindestens zehn Prozent aller Ecken". Für endliche Gruppen gibt es analog definierte Begriffe, und es ist sehr leicht, die "maximal symmetrischen" endlichen Gruppen vollständig zu verstehen. Dieses Projekt hingegen hat "hochsymmetrische" endliche Gruppen untersucht, was wesentlich schwieriger ist, noch nie zuvor gemacht worden war, und zu sehr interessanten Resultaten geführt hat, die in der international hoch angesehenen Zeitschrift "Journal of Algebra" publiziert wurden. Neben diesen und anderen quantitativen Resultaten zu Symmetrien und affinen Abbildungen endlicher Gruppen hat das Projekt auch effiziente Rechenverfahren im Zusammenhang mit affinen Abbildungen hervorgebracht, und es wurden (im Rahmen nationaler und internationaler Zusammenarbeiten) drei Forschungsartikel zu anderen gruppentheoretischen Themen verfasst.