Mathematische Methoden der Vielteilchen-Quantendynamik

Die Prinzipien der Quantenphysik liefern seit rund hundert Jahren die wissenschaftlich anerkannte Methode zur Beschreibung des ganz Kleinen: Atome, Moleküle, Nanostrukturen, deren Wechselwirkung mit Licht, so wie auch chemische Reaktionen. Da die Grundgleichung der Quantenphysik, die Schrödingergleichung, jedoch jedes einzelne Teilchen in Relation zu allen anderen beschreibt, sind für genaue Berechnungen gewaltige Rechen- und Speicherkapazitäten notwendig, die selbst bei kleinen Molekülen die heutigen Möglichkeiten weit übersteigen. Unter zahlreichen Wegen, die Komplexität einzuschränken und dennoch genaue Ergebnisse durch Näherungen zu bekommen, nimmt die Dichtefunktionaltheorie eine besondere Stellung durch ihre weite Verbreitung in der chemischen Physik und den Materialwissenschaften ein. Sollen Wechselwirkungen der Teilchen mit elektromagnetischen Feldern, also auch mit Licht, beschrieben werden, kommt eine zeitabhängige Version der Dichtefunktionaltheorie zum Einsatz. Um überhaupt sichergehen zu können, dass diese Näherungen auch Ergebnisse liefern, die mit solchen der Schrödingergleichung übereinstimmen, ist ein mathematischer Beweis erforderlich. Dieser wurde zwar schon 1984 von Erich Runge und E.K.U. Gross formuliert, jedoch unter sehr speziellen Bedingungen und nicht in voller mathematischer Genauigkeit. In diesem Projekt soll ein wesentliches Augenmerk auf die weitere Entwicklung von formalen Strukturen für die strenge mathematische Formulierung gelegt werden. Dies wird auch Konsequenzen für die aktuelle, praktisch orientierte Forschung in der Dichtefunktionaltheorie haben, die sich seit Kurzem auch mit der Beschreibung der Wechselwirkung von Materie und Licht in der Quantenphysik befasst. Da solche Verfahren heute in weiten Bereichen der Physik, Chemie, Biologie und Materialwissenschaften zur Anwendung kommen, erscheint es wichtig neben ihrer sich ständig erweiterten praktischen Entwicklung auch ihre mathematischen Grundlagen zu untersuchen und weiterzuentwickeln.

Das Projekt, durchgeführt am Max-Planck-Institut für Struktur und Dynamik der Materie in Hamburg, war der theoretischen Erforschung von neuen Methoden zur Berechnung der Eigenschaften von Molekülen und Feststoffen nach den Prinzipien der Quantenmechanik gewidmet. Dabei wurden speziell auch besondere physikalische Situationen, wie das Vorhandensein eines magnetischen Feldes oder eines optischen Resonators, betrachtet, welche dazu geeignet sind, Materialeigenschaften zu beeinflussen oder sogar gänzlich neue, exotische Materialzustände herbeizuführen. Da die Grundgleichung der Quantenphysik, die Schrödingergleichung, bei hoher Teilchenzahl jedoch zu komplex für eine direkte Lösung ist, kommen für die Berechnung von Materialeigenschaften spezialisierte Näherungsmethoden zum Einsatz, die wiederum an die spezifische physikalische Situation angepasst werden müssen. In diesem Projekt wurden nun einerseits die hierfür notwendigen mathematischen Strukturen genau untersucht und eine strenge mathematische Formulierung angestrebt, andererseits auch gänzlich neue Methoden entwickelt und an konkreten rechnerischen Beispielen erprobt. Dabei konnten mehrere interessante Entdeckungen gemacht werden, welche Verbindungen zu ganz verschiedenen Teilgebieten der Mathematik haben: Eine der wichtigsten Näherungsmethoden in der Quantenchemie, die Dichtefunktionaltheorie, nutzt ein iteratives Verfahren bei dem zuvor nicht bekannt war, ob es stets eine Lösung liefert. Wir konnten unter Zuhilfenahme von Techniken aus der konvexen Analysis zeigen, dass dies bei Systemen mit nur endlichen vielen möglichen Teilchenzuständen in der Tat der Fall ist, wenn das Verfahren zusätzlich einer bestimmten Regularisierung unterzogen wird. In einem anderen Teilprojekt betrachteten wir Elektronen innerhalb eines regelmäßigen Atomgitters unter dem Einfluss eines Magnetfeldes, welche Energien annehmen die zusammen ein Fraktal bilden, den sogenannten Hofstadter Butterfly. Wir untersuchten, wie dieses Fraktal sich unter dem Einfluss eines optischen Resonators verändert und fanden darüber hinaus ein zusätzliches Fraktal das entsteht, wenn die Kopplungsstärke zum Resonator verändert wird. Ein weiterer Forschungsgegenstand war die Umformulierung der üblichen Methode zur Berechnung von Materialeigenschaften, die auf der Beschreibung von Energien im System beruht, in eine Beschreibung durch die wirkenden Kräfte. Dadurch ergeben sich neue effiziente Techniken, die mit den bisherigen Methoden verglichen werden konnten und einen Ansatz für gänzlich neue Entwicklungen in diesem Bereich bieten. Die oben genannten besonderen physikalischen Situationen, das Vorhandensein von Magnetfeldern und optischen Resonatoren, werden auch in aktuellen Experimenten untersucht, mit dem Ziel neue und nützliche Materialeigenschaften zu finden. Die in diesem Projekt vorangetriebene theoretische Forschung soll dabei helfen, für diese Experimente eine theoretische Grundlage zu liefern und deren Ergebnisse besser zu verstehen.