Krümmungs-basierte Regularisierung für dynamische Bilddaten

Digitale Bilddaten sind heutzutage ein integraler Teil menschlicher Kultur. Sie speichern Urlaubserinnerungen,visualisieren Zellstrukturen im Nanobereichund das Inneredes menschlichen Körpers. Die Aufnahme von digitalen Bilddaten involviert immer das Messen einer physikalischen Größe und die Erzeugung des entsprechenden Bildes mit mathematischen Operationen. Während die Bilderzeugung bei einer direkten Aufnahme der Bilddaten, wie mit einer Digitalkamera, vergleichsweise einfach ist, erschweren indirekte oder unvollständige Messungen diesen Prozess deutlich. In den meisten wissenschaftlichen und klinischen Anwendungen sind abernur Messungendeszweiten Typsverfügbar. EinwichtigesBeispiel ist die Magnetresonanzbildgebung (MR), bei der das Bild aus der Messung des von Wasserstoffprotonen induzierten Stroms in Empfängerspulen erzeugt wird. Wenn indirekte oder unvollständige Daten eine direkte Rekonstruktion von Bildern verhindern, kommt mathematische Modellierung ins Spiel. Ein mathematisches Modell von erwarteten Bildstrukturen liefert die nötigen Zusatzinformationen, um aus schlechten Messdaten gute Bilder zu erzeugen. In der variationellen Bildverarbeitungwird diesdurch die Lösung eines Minimierungsproblems erreicht, welches die gemessenen Daten und das Bildmodell in Form eines Regularisierungsfunktionals beinhaltet. Dabei ist es wichtig, dass das Regularisierungsfunktional einen guten Kompromiss zwischen praktischer Realisierbarkeit und realistischer Modellierung bildet. Das zugrunde liegende Konzept von Regularisierung ist, typische Bildeigenschaften mit mathematischen Operationen zu messen, die einfach genug sind, um in der Praxis durchgeführt werden zu können. Moderne Verfahren für statische Bilder messen zum Beispiel die Glattheit des Bildes mit Ableitungsoperationen. Bei dynamischen Daten macht die spezielle Rolle der zeitlichen Dimension die Entwicklung von realistischen und doch durchführbaren Modellen schwieriger. Dazu kommt, dass das menschliche Auge sehr sensitiv auf Bewegungen reagiert und daher eine richtige Rekonstruktion dieser Bewegungen für die wahrgenommene Bildqualität essentiell ist. Andererseits erzeugen zeitliche Zusammenhänge zwischen Einzelbildern eines Videos im Allgemeinen viel Redundanz, die für die Regularisierung ausgenutzt werden kann. Ziel dieses Projektes ist es, neue mathematische Methoden für die Regularisierung dynamischer Bilddaten zu entwickeln und anzuwenden. Um das zu erreichen, transferieren wir Bilddaten in einen höher dimensionalen Raum, in dem grundlegende Eigenschaften einfacher mit mathematischen Operationen beschrieben werden können.Das erlaubt uns, neue Regularisierungsansätze zu entwickeln, die Dynamiken wesentlich besser beschreiben als existierende Methoden und trotzdem rechnerisch durchführbar sind. Diese neuen Techniken werden dann auch für die Rekonstruktion dynamischer MR-Daten angewandt und sollen u.a. beitragen, hochauflösende Bilder des schlagenden menschlichen Herzens zu erzeugen.

Eine grundlegende Problemstellung in Wissenschaft und Technik ist die Bestimmung von Eigenschaften eines (physikalischen oder virtuellen) Objekts, für die nur indirekte Messungen verfügbar sind. Beispiele für solche Eigenschaften sind (Material-) Parameter in physikalischen Systemen, morphologische Bilder vom Inneren des Körpers in der medizinischen Bildgebung, aber auch virtuelle Parameter in Computerprogrammen (z.B. neuronalen Netzwerken), die so eingestellt werden sollen, dass das Programm bestimmte Aufgaben erfüllt. Während die indirekten Messungen sowie ein mathematisches Modell zur Entstehung dieser Messungen oft (näherungsweise) bekannt sind, ist die Bestimmung der Eigenschaften des unbekannten Objekts als die Ursache dieser Messungen meist schwierig. Die größten Herausforderungen sind hier eine mehrdeutige und/oder instabile Abhängigkeit der unbekannten Objekteigenschaften von den Messdaten. Eine instabile Abhängigkeit bedeutet hier, dass selbst kleinste Abweichungen der Messdaten (z.B. durch Messrauschen) zu einer dramatischen Veränderung der Objekteigenschaften führen, die direkt mit der Messung in Verbindung gebracht werden können. Eine sehr erfolgreiche mathematische Technik zur Überwindung dieser Schwierigkeiten ist Regularisierung. Regularisierung bedeutet, dass man die unbekannten Objekteigenschaften nicht nur anhand der Messdaten bestimmt, sondern auch Vorkenntnisse über diese mit einbezieht. Dieses Vorwissen wird typischerweise als zweites mathematisches Modell formuliert. Mittels numerischer Algorithmen wird dann eine Lösung des ursprünglichen Problems als diese Objekteigenschaften erhalten, welche ein optimales Gleichgewicht zwischen der Erklärung der Messdaten einerseits und der Anpassung an das mathematische Modell der Vorkenntnisse andererseits darstellen. Damit dieser beschriebene Regularisierungsansatz in der Praxis funktioniert, ist es wichtig mathematische Modelle für bestimmte Problemstellungen zu entwickeln die i) eine mehrdeutige und/oder instabile Abhängigkeit der Losung von den Messdaten überwinden, ii) ausreichend reichhaltig sind, um eine breite Klasse von Objekten realistisch zu beschreiben, und iii) ausreichend einfach sind um eine numerische Realisierung in der Praxis zu ermöglichen. Ziel dieses Projekts war es, neue mathematische Modelle zu entwickeln, die diese Eigenschaften erfüllen. Der Schwerpunkt lag dabei auf Anwendungen in der mathematischen Bildverarbeitung, bei denen Bilddaten die unbekannten Objekteigenschaften beschreiben. Um insbesondere die oben genannte Anforderungen ii) und iii) zu erfüllen, wurde im Projekt eine Technik namens functional liftingverwendet. Das bedeutet, dass reichhaltige, aber numerisch schwierige Modelle in einen höherdimensionalen Raum so übertragen werden, dass sie in diesem Raum numerisch realisierbar wer- den. Mit dieser Technik konnten wir als Hauptergebnis des Projekts ein mathematisches Modell für sich wiederholende Muster in Bilddaten entwickeln, das numerisch realisierbar ist, und es ermöglicht, unbekannte Bilddaten aus gegebenen, indirekten Messungen durch gleichzeitiges und automatisches Lernen solcher Muster zu rekonstruieren. Darüber hinaus konnten wir durch mathematische Analyse dieses Modells nachweisen, dass das Modell tatsächlich auch die oben genannte Anforderung i) erfüllt. Zusätzlich konnten wir mittels numerischer Algorithmen zeigen, dass das vorgeschlagene Modell für verschiedene Problemstellungen eine deutliche Verbesserung im Vergleich zu bestehenden Techniken liefert. Es ist zu erwarten, dass die ErgebnissediesesProjektspraktischeVerbesserungen bei verschiedenen, anwendungsorientierten Problemen in Wissenschaft und Technik ermöglichen, bei denen die unbekannten Objekteigenschaften wiederkehrende Muster enthalten. Dies ist eine relevante Klasse von Objekten, für die bisher kein umfassendes mathematisches Modell verfügbar war.