Hierarchisch hyperbolische Gruppen

Ein präziser Weg, um die Gestalt eines mathematischen Objektes zu beschreiben, ist es, seine Symmetrien zu betrachten. Dabei können wir zwei fundamentale Grundeigenschaften von Symmetrien voraussetzen: Zum einen sind Symmetrien umkehrbar und zum anderen können je zwei verschiedene Symmetrien so zusammengefasst werden, dass sie wieder eine Symmetrie ergeben. Abstrahiert man diese zwei Eigenschaften gelangt man zur mathematischen Begriff einer Gruppe. So wie also Zahlen das mathematische Mittel sind, um Größen zu beschreiben, so sind Gruppen das mathematische Mittel, um Symmetrien rigoros zu beschreiben. Wenn wir die Intuition nun mal zur Seite legen, und die aufgeführten Eigenschaften abstrahieren, erkennt man sogleich, dass Gruppen in vielen verschieden Formen und Gestalten überall im Gebiet der Mathematik - sowie auch in anderen Wissenschaften vorkommen. Deswegen gibt es das Gebiet der Gruppentheorie: Das Studium der abstrakten Gruppen. Dieses Forschungsprojekt mit dem Titel Hierarchically hyperbolic groups beschäftigt sich mit einer erst kürzlich neu identifizierten Familie von Gruppen, welche als hierarchisch hyperbolisch bezeichnet werden. Hierarchisch hyperbolische Gruppen, wie der Name es schon ahnen lässt, sind in einer hierarchischen Struktur konstruiert, beginnend mit hyperbolischen Stücken. Dies ist eine typische Vorgangsweise in der Mathematik: Sich einer schwierigen oder komplexen Situation dadurch anzunähern (nämlich eine Gruppe zu untersuchen, welche wir genau genommen nicht verstehen), indem man leichtere Fälle (hier: gut verstandene Gruppen) untersucht. Hierarchische hyperbolische Gruppen sind Gruppen, die man auf diese Weise (nämlich ausgehend von hyperbolischen Gruppen) erhält. Was ist nun also eine hyperbolische Gruppe? Hyperbolische Gruppen wurden erstmals in den 80er Jahren von Gromov untersucht und zwar während eines sehr erfolgreichen Versuches, geometrische Methoden in der Gruppentheorie zu verwenden (Genauer: Methoden hyperbolischer Geometrie; hier finden wir auch den Ursprung des Begriffes hyperbolisch). Es stellte sich heraus, dass diese geometrische Vorgehensweise starker algebraischer und asymptotischer Eigenschaften sowie Wachstums-Eigenschaften bedurfte, welche durch hyperbolische Gruppen bedient werden mussten; dies war der Grundstein, aus dem sich sogenannte geometrische Gruppentheorien entwickelten. Den Namen betrachtend ahnen wir schon, dass hyperbolische Gruppen hierarchisch hyperbolisch sind, jedoch ist dies andersherum nicht der Fall: hyperbolische Stücke können auf eine so komplizierte Art zusammengefügt werden, sodass die resultierende Gruppe selbst nicht hyperbolisch ist. Zudem stellt sich heraus, dass hierarchische hyperbolische Gruppe auch starke algebraische, asymptotische und Wachstums- Eigenschaften bedienen müssen. Hierarchische hyperbolische Gruppen wurden vor Kurzem eingeführt, nämlich Ende 2014. Mit diesem Projekt möchte ich ein besseres Verständnis über diese Familie von Gruppen gewinnen. Genauer interessiere ich mich auf der einen Seite für die strukturellen Eigenschaften der gesamten Klasser der hierarchisch hyperbolischen Gruppen. Zum einen nämlich, welche welche Konstruktionen hierarchisch hyperbolische Gruppen erhalten. Auf der anderen Seite möchte ich neue konkrete Beispiele angeben bzw. Wege aufzeigen, um hierarchisch hyperbolische Gruppen von Gruppen, die nicht hierarchisch hyperbolisch sind, zu unterscheiden.