Energie, Produktmengen und Wachstum in unendlichen Gruppen

In dem Erwin Schrödinger Projekt Energie, Produktmengen und Wachstum in unendlichen Gruppen studieren wir abstrakte algebraische Objekte, sogenannte Gruppen. Allerdings sind diese oft gar nicht so abstrakt wie es zunächst scheint. Viele Gruppen erscheinen nämlich auf natürliche Art und Weise als Symmetrien von geometrischen Räumen: beispielsweise der allgemein bekannten flachen euklidischen Ebene, der negativ gekrümmten hyperbolischen Ebene, oder stark verknüpften Netzwerken. Eine gute Möglichkeit um Gruppen zu studieren ist also ihre Geometrie zu verstehen. In diesem Projekt werde ich mit hyperbolischen Gruppen arbeiten. Das sind Gruppen in denen viele Eigenschaften von negativer Krümmung erhalten bleiben. Um die Komplexität von Gruppen zu untersuchen und sie untereinander zu unterscheiden betrachten wir oft deren Wachstum. In hyperbolischen Gruppen ist dieses Wachstum exponentiell, d.h. etwa so wie das Wachstum einer Bakterienkultur in der sich in jedem Vermehrungsschritt die Population verdoppelt. Ein neuer Trend ist das Studium des Wachstums von sogenannten Produktmengen in Gruppen. Um dies in hyperbolischen Gruppen zu verstehen haben wir vor Kurzem neue geometrische Methoden entwickelt. In diesem Projekt möchte ich diese Frage nun in anderen interessanten Gruppen untersuchen, nämlich in unendlichen und endlich erzeugten Gruppen in denen jedes Element uniform endliche Ordnung hat (also etwa jede 1000ste Potenz gleich 1 ist). Die Konstruktion dieser sogenannten Burnside Gruppen gehört zur absoluten Königsklasse in meinem Gebiet und ist ziemlich wichtig um neue Hypothesen und Methoden zu testen. Allerdings erlauben es relativ neue geometrische Methoden diese Gruppen durch die besser verstandenen hyperbolischen Gruppen anzunähern. Ich möchte nun diese Annäherung verwenden um unser kürzlich erworbenes Wissen in hyperbolischen Gruppen auf Burnside Gruppen zu übertragen. Ich erhoffe mir ein besseres Verständnis vom Wachstum von Produktmengen in Burnside Gruppen, deren Komplexität und der Güte der erwähnten Annäherung. Das Erwin Schrödinger Stipendium erlaubt es mir dieses Projekt in Zusammenarbeit mit einem führenden Experten der geometrischen Konstruktion von Burnside Gruppen und deren Wachstum an der Universität Rennes in Frankreich durchzuführen.

Wir haben feine und optimale Abschätzungen für das Wachstum von Produktmengen beziehungsweise Untersemigruppen in Burnsidegruppen von ausreichend großem ungeraden Exponenten gezeigt. Mit diesen Resultaten haben wir bereits bekannte Wachstumsabschätzungen von Razborov und von Safin für freie Gruppen, sowie von Delzant und PI für hyperbolische Gruppen, auf solche Burnsidegruppen verallgemeinert. Dafür haben wir insbesondere neue Methoden zum Studium des Wachstums von Produktmengen in Gruppen, die azylindrisch auf hyperbolischen Räumen wirken, weiterentwickelt.