Symm. Funktionen und alternierende vorzeichen Matrizen

Alternierende Vorzeichenmatrizen (ASMs) und plane partitions (zweidimensionale Partitionen) sind kombinatorische Objekte, welche in einer faszinierenden und zugleich mysteriösen Verbindung stehen. ASMs wurden in den frühen 80ern durch David Robbins und Howard Rumsey präsentiert und können als Konfigurationen des six-vertex models, das in der statistischen Physik ausführlich erforscht wurde, dargestellt werden. Plane partitions wurden Ende des 19ten Jahrhunderts durch Major Percy Alexander MacMahon eingeführt und stehen unter anderem in Verbindung mit der Theorie von symmetrischen Funktionen sowie der statistischen Physik. Während der letzten vier Jahrzehnte konnte bewiesen werden, dass ASMs gleichmächtig zu drei weiteren Familien von kombinatorischen Objekten sind, d.h. es gibt gleich viele Objekte derselben Größe. Besonders ungewöhnlich ist dabei, dass keine explizite Bijektion zwischen diesen Familien bekannt ist; eine Bijektion ist eine Abbildung, die es erlaubt Objekte einer Familie eins zu eins in Objekte einer anderen Familie zu übersetzen. Die für dieses Forschungsprojekt wichtigste dieser drei Familien ist jene der descending plane partitions (DPPs). In diesem Schrödinger Stipendium "Symmetric functions and alternating sign matrices" werden wir symmetrische Funktionen untersuchen, welche in Verbindung zu zwei dieser Familien stehen, nämlich ASMs und DPPs. Zu ASM assoziierte symmetrische Funktionen werden in der Fachliteratur typischerweise über den sogenannten six-vertex model Ansatz erzeugt. In diesem Forschungsprojekt wird der in der Literatur weniger benützte operator formula Ansatz verwendet um symmetrische Funktionen zu erhalten, welche in Verbindung zu ASMs stehen. In Zusammenarbeit mit François Bergeron fand ich eine faszinierende kombinatorische Beschreibung für diese Funktionen und einen Zusammenhang zu d-DPPs, einer Verallgemeinerung von DPPs und zyklisch symmetrischen plane partitions, welche es in diesem Projekt zu beweisen gilt. Konkret werden wir eine Familie von symmetrischen Funktionen betrachten, welche als Summe von Schur Funktionen dargestellt werden kann. Dabei ist jeder Summand zu einer total symmetrischen plane partition (TSPPs), einer weiteren Symmetrieklasse von plane partitions, zugeordnet. Eine gemeinsame These von Bergeron und mir ist, dass bestimmte Funktionswerte dieser symmetrischen Funktionen die gewichtete Abzählung von ASMs beziehungsweise die Abzählung von d-DPPs ergeben. Um unsere Vermutungen zu beweisen, werden wir zuerst jene Spezialfälle betrachten, die auch in der Literatur gefunden werden können. In einem nächsten Schritt planen wir typische Methoden und Techniken des six-vertex model Ansatzes in unserer Situation zu transferieren und anzuwenden. Zusammenfassend steht eine neuartige und in der Literatur noch nicht betrachtete Familie von symmetrischen Funktionen im Mittelpunkt dieses Forschungsvorhabens. Die untersuchten symmetrischen Funktionen stechen dabei durch ihre kombinatorische Beschreibung mittels TSPPs, welche noch nicht mit ASMs in Verbindung standen, und ihren Zusammenhang sowohl mit der gewichteten Abzählung von ASMs als auch der Abzählung von d-DPPs hervor.

Im Rahmen des Schrödinger Stipendiums "Symmetric functions and alternating sign matrices" wurden Resultate in zwei Gebieten der Kombinatorik erreicht: einerseits wurde der Zusammenhang von "alternierenden Vorzeichenmatrizen" und "planaren Partitionen" untersucht, andererseits eine probabilistische Verallgemeinerung der Robinson-Schensted Korrespondenz für Macdonald Polynome. Alternierende Vorzeichenmatrizen (im englischen "alternating sign matrices", oder kurz ASMs) und planare Partitionen sind kombinatorische Objekte, welche in einer faszinierenden und zugleich mysteriösen Verbindung stehen. ASMs wurden in den frühen 80ern durch David Robbins und Howard Rumsey wie folgt definiert: Ein ASM ist eine quadratische Anordnung von den Zahlen 0, 1 und -1, sodass die Summe der Zahlen in den Zeilen beziehungsweise Spalten jeweils 1 ist, und sodass sich entlang von Zeilen beziehungsweise Spalten das Vorzeichen der Zahlen ungleich 0 abwechselt. Planare Partitionen wurden am Ende des 19ten Jahrhunderts durch Major Percy Alexander MacMahon eingeführt und sind Anordnungen von natürlichen Zahlen in einem Gitter, sodass Zahlen von links nach rechts und von oben nach unten nicht größer werden dürfen. Während der letzten vier Jahrzehnte konnte bewiesen werden, dass die Anzahl der ASMs unter anderem gleich der Anzahl von planaren Partitionen, welche eine bestimmte Symmetrie erfüllen, ist. Diese planaren Partitionen werden auch "descending plane partitions" oder kurz DPPs genannt. Besonders ungewöhnlich ist dabei, dass, es keinen einfachen kombinatorischen Beweis (Bijektion) gibt, mit dem ASMs in DPPs "übersetzt" werden könnten. Im ersten Teil dieses Projekts beschreibe ich gemeinsam mit Ilse Fischer zwei Familien von Objekten, welche einerseits ASMs und andererseits DPPs verallgemeinern. In einem unserer Hauptresultate zeigen wir, dass nicht nur die Anzahl der Objekte in beiden Familien gleich ist, sondern wir beschrieben auch eine lineare Anzahl von Eigenschaften (sogenannte Statistiken), welche auf beiden Mengen gleich verteilt sind. Dies stellt einen wichtigen Schritt für ein besseres Verständnis beider Objekte dar, da wir die Anzahl der Statistiken, die gleichzeitig betrachtet werden können, von 4 auf n+3 erhöhen konnten, wobei n die "Größe" der Objekte ist. Im zweiten Teil des Projekts betrachtete ich gemeinsam mit Gabriel Frieden eine Verallgemeinerung der Robinson-Schensted Korrespondenz, auch RS genannt. Die RS Korrespondenz ist eine Bijektion, eine Art "Übersetzung", zwischen zwei verschiedenen kombinatorischen Objekten und hat viele Anwendungen in verschiedenen mathematischen Gebieten. Mit der Einführung der Macdonald Polynome Ende der 1980er konnte man für diese Objekte auf natürliche Art zusätzliche Eigenschaften definieren, typischerweise werden diese als Gewichte bezeichnet, und es war ein offenes Problem, RS für diese gewichtete Objekte zu verallgemeinern. Gemeinsam mit Frieden konnte ich eine solche Verallgemeinerung beschreiben - die qRSt Korrespondenz. Im Gegensatz zur klassischen RS Korrespondenz ist unser "Übersetzungs-Algorithmus" probabilistisch, sprich jeder Schritt in unserem Algorithmus wird entsprechend einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgewählt.