Quantumchaos, Gitter und harmonische Analysis

Vorliegendes Forschungsprojekt beschäftigt sich mit zwei Arten von Problemen (und deren Anwendungen): A) Verteilungseigenschaften von Zahlenfolgen auf feinen Skalen sowie B) der Geometrie der Zahlen in hoch-dimensionalen Räumen. Die erstgenannten Fragen zielen darauf ab zu messen, wie zufällig sich gewisse (klassische) Zahlenfolgen tatsächlich verteilen. Die angesprochenen Zahlenfolgen kommen häufig aus der Physik; genauer gesagt aus einem neuerem Forschungsbereich, der sich damit beschäftigt, wie sich Chaos in der Quantenmechanik äußert. Eine Antwort hierauf wurde in den 1970ern von den Physikern Barry und Tabor in einer grundlegenden Vermutung vorgeschlagen. Zur Zeit ist diese nur für sehr spezielle Quantensysteme (und auch dort nur zum Teil) verstanden ist. Vereinfachend gesprochen, betrachtet man hierbei wie sich die Energielevel eines typischen Quantensystemes verteilen. Es ist zu erwähnen, dass dabei die Verteilung auf immer feineren Skalen studiert wird. Das steht im scharfen Gegensatz zur z.B. der klassischen Gleichverteilungstheorie (in der Zahlentheorie), wo die Skala fixiert bleibt. In der Tat, es ist ein erklärtes Teilziel derartige Gleichverteilungssätze auf deutlich kleineren Skalen zu untersuchen und, wenn immer möglich, zu verschärfen. Die zweitgenannten Fragen beschäftigen sich mit Gittern - welche man sich als höherdimensionale Varianten eines handelsüblichen Fliegengitters denken kann: Anstatt der üblichen drei Raumdimension kann ein solches allerdings eine beliebige große Anzahl an Raumdimensionen besitzen. Wozu ist das nütze? Zum einen lassen sich diverse Probleme in der Mathematik darauf reduzieren, ob ein (interessantes) Objekt existiert oder nicht. Zum anderen hat sich im Zeitraum der letzten ca. 100 Jahre herausgestellt, dass die Geometrie genauer die Geometrie der Zahlen - einen vereinigenden und teils vereinfachenden Rahmen bereitstellt, um Existenzfragen in geometrische Gitterprobleme zu übersetzen. Letztere sind für gewöhnlich einer breiteren Auswahl an Methoden zugänglich. Daher spielt die Geometrie der Zahlen z.B. in der Kombinatorik, Zahlentheorie, der Theorie der dynamischen System und den Computerwissenschaften eine entscheidende Rolle. Im vorliegenden Projekt gilt der Fokus einem weniger verstanden Aspekt der Geometrie der Zahlen, nämlich der Dimensionsabhägigkeit in folgendem Sinne: Gegeben sei eine unendliche Anzahl von kompatiblen Gitterpunktproblemen. Kompatibel hier bedeutet, einfach gesagt, dass das zweite Gitter eine höher-dimensional Erweiterung des ersten und das dritte Gitter eine höher-dimensional Erweiterung des zweiten Gitters usw. ist. Existiert immer eine (und wenn ja wie viele) Lösung eines Gitterpunktproblems, aus der vorgegebenen Menge von Gitterpunktproblemen in verschiedenen Raumdimensionen, sofern die Dimensionen des zugrundeliegenden Raumes nur hinreichend groß ist? Die eben genannten Gitterpunktprobleme stammen direkt aus Fragen in der (algebraischen) Zahlentheorie und haben Anwendungen in der Logik.

Unsere Welt ist voller hochkomplexer Phänomene: Ein Gramm Wasser enthält mehr als 10^22 Moleküle. Die Bewegung von Wasser zu analysieren, indem man versucht, die Bewegung jedes einzelnen Moleküls zu berechnen, ist zum Scheitern verurteiltes Unterfangen. Ein leistungsfähiges und vielseitiges Werkzeug zur Beschreibung komplexer Systeme ist die Wahrscheinlichkeitstheorie. Diese sagt vorher, dass sich mikroskopische Unregelmäßigkeiten und Schwierigkeiten auf makroskopischen Maßstäben wunderbar aufheben. Viele Naturgesetze werden auf diese Weise ausgesprochen erfolgreich beschrieben. Meine Forschung folgt diesem Leitmotiv. Ich untersuche statistische Eigenschaften arithmetischer Daten und zeige, dass aus mikroskopischer Zufälligkeit einfache Gesetze entstehen. Solche Statistiken sind für verschiedene Bereiche der Mathematik und Physik von zentraler Bedeutung. Mein Hauptaugenmerk liegt auf Statistiken, die durch Quantenchaos motiviert sind. Hier wird untersucht, wie Chaos und die Quantenwelt zusammenpassen. Wissenschaftlich gesehen beschreibt Chaos, dass das zukünftige Verhalten eines Systems, das nicht nur empfindlich, sondern extrem empfindlich gegenüber seinem Ausgangszustand ist. Das bedeutet, dass die Vorhersage was in einem solchen System zukünftig passiert, in der Praxis unerreichbar genaue Informationen erfordert. Chaotische Systeme gibt es überall um uns herum. Ein einfaches Beispiel ist ein Ball, der halbwegs hoch über der Spitze einer Pyramide platziert ist: Um zu entscheiden, ob der Ball nach rechts oder links von der Spitze fällt, sind extrem genaue Informationen über die Anfangsposition des Balls erforderlich. 1977 stellten die renommierten Physiker Sir M. Berry und M. Tabor eine grundlegende Vermutung auf, um den mysteriösen Zusammenhang zwischen Chaos und Quantenphysik aufzuklären. Ein zentraler Punkt ihrer Vermutung ist die Verteilung der Lücken zwischen verschiedenen Energieniveaus eines Quantensystems. Das zufällige Verhalten der Lücken sollte uns dabei helfen, die Spuren des Chaos aufzuspüren. Trotz erheblicher Bemühungen der wissenschaftlichen Gemeinschaft ist die Berry-Tabor-Vermutung immer noch weitgehend offen - selbst in einfachen Fällen. Der Grund liegt auf der Hand: Die verfügbaren mathematischen Werkzeuge reichen nicht aus. Meine Forschung zielt darauf ab, solche Werkzeuge zu schaffen. Ein hervorragender Ausgangspunkt zum Verständnis der Lückenverteilung ist die Untersuchung der sogenannten Paarkorrelationsfunktion. Diese Funktion misst die statistische Abhängigkeit von Punktpaaren. Mathematiker und Physiker erwarten oft, dass die Paarkorrelationsfunktion von Datenpunkten, z.B. Energieniveaus in einem Quantensystem, sich so verhält, als ob die Daten (wirklich) zufällig verteilt wären. In diesem Fall wird die Paarkorrelationsfunktion als Poissonsch bezeichnet. Ein Forschungsschwerpunkt dieses Projekts ist die Entwicklung neuartiger Zählmethoden, die explizite Beispiele (von Zahlenfolgen von mathematischem Interesse) liefern, deren Paarkorrelationsfunktion eine Poissonsch ist. Das ist der Inhalt meiner Zusammenarbeit mit Lutsko und Sourmelidis. Mit Lutsko habe ich die Techniken weiterentwickelt, um Korrelationsfunktionen höherer Ordnung (die mehr als zwei Punkte gleichzeitig betrachten) abzudecken für Zahlenfolgen, welche ausreichend langsam wachsen. Solche Ergebnisse sind noch immer eine Seltenheit. Diese Arbeiten wurden in einem kürzlich von Lutsko verfassten Artikel im Scientific American vorgestellt.