Spektraltheorie von Graph-Laplace-Operatoren und Anwendungen

Graphen stellen ein wesentliches und fundamentales Konzept der Mathematik dar. Sehr vereinfacht gesprochen ist ein Graph der mathematische Begriff für ein Netzwerk und besteht aus Punkten, die mit Strichen verbunden sind (siehe z.B. U-Bahn-Plan oder Familienstammbaum). Ein faszinierender Aspekt von Graphen ist, dass sie in sehr unterschiedlichen Zusammenhängen eine Rolle spielen und so eine Brücke zwischen verschiedenen Themen schlagen. So treten sie etwa bei angewandten Fragen wie der Modellierung von Straßennetzwerken, sozialen Netzwerken oder Blutkreislaufsystemen auf, andererseits aber auch in abstrakten mathematischen Gebieten wie der Gruppentheorie (die Punkte entsprechen dann abstrakten Objekten). In diesem Schrödinger-Projekt beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften von Laplace- Operatoren auf Graphen. Diese spielen eine wesentliche Rolle beim Verständnis von Differentialgleichungen auf Graphen, wie z.B. der Wärmeleitungsgleichung (beschreibt Diffusion in Netzwerken, z.b. Ausbreitung von Information oder Wärme) oder der Schrödingergleichung (quantenmechanische Beschreibung eines Teilchens im Netzwerk). Hier ergeben sich sehr schöne und faszinierende Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften der Laplace-Operatoren und den geometrischen Eigenschaften von Graphen (einfache Beispiele dafür sind z.B. deren Durchmesser oder Konnektivität). Ziel unseres Projektes ist die Erforschung dieser Zusammenhänge in Bezug auf verschiedene neue Fragen. Zum Beispiel möchten wir verstehen, wie sich verschiedene Varianten der Schrödingergleichung durch die geometrische Eigenschaften eines unendlich großen Graphen im Unendlichen klassifizieren lassen. Ein weiteres Ziel betrifft die Fragen, ob sich die Theorien von Laplace-Operatoren auf Graphen und Laplace-Operatoren auf Riemannschen Flächen verknüpfen lassen.

Graphen sind ein fundamentales Konzept in der Mathematik. Sehr vereinfacht gesprochen ist ein Graph der mathematische Begriff für ein "Netzwerk" und besteht aus "Punkten, die mit Strichen verbunden sind" (siehe z.B. U-Bahn-Plan oder Familienstammbaum). Ein faszinierender Aspekt von Graphen ist, dass sie in sehr unterschiedlichen Zusammenhängen eine Rolle spielen und so eine Brücke zwischen verschiedenen Themen schlagen. So treten sie etwa bei angewandten Fragen wie der Modellierung von Straßennetzwerken, sozialen Netzwerken oder Blutkreislaufsystemen auf, andererseits aber auch in abstrakten mathematischen Gebieten wie der Gruppentheorie (die "Punkte" entsprechen dann abstrakten Objekten). In diesem Schrödinger-Projekt haben wir uns mit den Eigenschaften von Laplace-Operatoren auf Graphen beschäftigt. Diese spielen eine wesentliche Rolle beim Verständnis von Differentialgleichungen auf Graphen, wie z.B. der Wärmeleitungsgleichung (beschreibt "Diffusion" in Netzwerken, z.b. Ausbreitung von Information oder Wärme) oder der Schrödingergleichung ("quantenmechanische Beschreibung eines Teilchens im Netzwerk"). Hier ergeben sich sehr schöne und faszinierende Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften der Laplace-Operatoren und den "geometrischen Eigenschaften" von Graphen (einfache Beispiele dafür sind z.B. deren "Durchmesser" oder "Konnektivität"). Z.B. konnten wir die Theorien von zwei verschiedenen Arten von Laplace-Operatoren auf Graphen (diskrete Laplace-Operatoren vs. Quantengraphen-Laplace-Operatoren) miteinander verknüpfen und aus dieser Verknüpfung neue Resultate gewinnen. Weiter haben wir die Zusammenhängen zwischen geometrischen Eigenschaften von Graphen und sogenannten Hardy-Ungleichungen untersucht. Außerdem konnten wir Bezüge zu Differentialgleichungen auf "degenerierenden Flächen" herstellen, also zweidimensionalen Flächen, die sich zu einem singulären geometrischen Objekt verformen.