Superoszillationen und ihre Zeitenwicklung

Unter dem Begriff "Superoszillation" versteht man das paradoxe Verhalten von Funktionen, Wellen oder Teilchen, schneller zu schwingen als die internen Frequenzen es erwarten lassen würden. Zum Beispiel kann niederfrequentes (rotes) Licht derart interferieren, dass hochfrequentes blaues Licht oder im Extremfall sogar radioaktive Gammastrahlung entsteht. Ziel des Projektes ist nun die Untersuchung superoszillierender quantenmechanischer Teilchen und ihrer Interaktion mit Potentialen. Im Speziellen soll die Frage beantwortet werden, ob superoszillierendes Verhalten zeitlich stabil ist oder ob diese empfindliche Interferenzerscheinung zerstört wird durch die Einwirkung externer Kräfte. Mathematisch gesehen liegt diesem Problem die sogenannte Schrödingergleichung zugrunde, die vom Namensgeber des Stipendiums Erwin Schrödinger im Jahre 1926 aufgestellt wurde und bis heute die Grundlage der nichtrelativistischen Quantenmechanik bildet. Da die vollständige Lösung dieser Gleichung in der Regel nur sehr schwer bis gar nicht berechenbar ist, besteht die Aufgabe darin zumindest die Teile der Lösung zu extrahieren, welche die nötigen Informationen zum Zeitverhalten von Superoszillationen beinhalten. Das größte praktische Anwendungsgebiet von Superoszillationen ist die optische Mikroskopie. Im klassischen Sinne ist die Auflösung eines optischen Mikroskops beschränkt durch die verwendete Lichtfrequenz. D.h. es können keine Objekte untersucht werden dessen Abmessungen kleiner sind als die Wellenlänge des verwendeten Lichts. Durch den gerade beschriebenen Effekt der Superoszillationen kann diese Wellenlänge jedoch künstlich verringert und dadurch das Auflösungsvermögen des Mikroskops vergrößert werden. In diesem Zusammenhang spricht man dann von "optical superresolution". Ein weiteres Problem mit dem sich das Projekt beschäftigt, ist der Umstand, dass unter dem Wort "Superoszillation" zwar der Effekt des "zu starken Schwingens" verstanden wird, verschiedene wissenschaftliche Fachrichtungen in der Vergangenheit dieses Phänomen jedoch problemspezifisch unterschiedlich behandelt haben. Angestrebt wird demnach eine mathematische Theorie sowie eine allgemein gültige präzise Definition einer superoszillierenden Funktion, welche alle existierenden Phänomene umfasst und erklärt.

Superoszillationen sind ein faszinierendes Phänomen in der Physik, mit dem Ursprung in der Optik und Antennentheorie. Es beschreibt das paradoxe Verhalten von Wellen (z.B. Licht), sich dermaßen zu überlagern, sodass die resultierende Welle eine höhere Frequenz besitzt als alle einfallenden Wellen. Zum Beispiel können mehrere rote Lichtquellen so überlagert werden, dass Röntgenstrahlung entsteht. Der zugrundeliegende Effekt ist eine fast vollständige Auslöschung (destruktive Interferenz) aller Wellen. Übrig bleibt ein sehr schwaches Signal jedoch mit hoher Frequenz. Im Jahr 1988 hat der bekannte Physiker Yakir Aharonov dann herausgefunden, dass dieser Frequenzsprung nicht nur bei Licht, sondern auch in der Quantenmechanik auftritt, und dort auf praktisch alle messbare Größen übertragen werden kann. Beispielsweise, der Spin eines Elektrons (welcher den Wert 1/2 besitzt) kann durch Superoszillation einen beliebig großen Wert annehmen. Im Zuge meines Schrödinger Stipendiums habe ich zusammen mit dem Forschungsteam am Politecnico in Mailand, unter der Leitung von Prof. Colombo, untersucht wie stabil dieser Effekt ist. Insbesondere konnten wir zeigen, unter welchen Voraussetzungen dieser sensible Interferenzeffekt der Superoszillation erhalten bleibt, wenn die Teilchen externen Einflüssen ausgesetzt sind. Dies ist insbesondere wichtig für reale Anwendungen, da bei Experimenten nie alle Störeinflüsse ausgeschlossen werden können. Wären Superoszillationen zu empfindlich, wären sie praktisch kaum nutzbar. Eine dieser Anwendungen ist beispielsweise die sogenannte Super-Resolution in der Mikroskopie. Betreibt man Mikroskopie mit superoszillierendem Licht, so hat dieses lokal eine höhere Frequenz und das Bild damit eine höhere Auflösung. Zwar hat man mit sehr kleinen Intensitäten zu kämpfen, mit der aktuellen Technologie und dem Aufkommen von AI, können diese Bilder jedoch rückgerechnet werden. Weiters werden Superoszillation in den verschiedenen Fachgebieten in denen sie Anwendung finden (Mathematik, Physik, Informationstechnologie, ...) unterschiedlich behandelt. Diese Unterschiede machen es schwer Resultate miteinander zu vergleichen oder Methoden anzuwenden. Zusammen mit Prof. Struppa von der Chapman Universität in Kalifornien ist es uns gelungen all diese verschiedenen Ansätze unter einer gemeinsamen mathematischen Theorie zu vereinigen. Diese sollte es in Zukunft einen interdisziplinären Austausch vereinfachen und Ergebnisse vergleichbarer machen.