Algebraische Anwendungen in der kombinatorischen Geometrie

Kombinatorische Geometrie ist ein mathematischer Zweig, der Methoden aus Kombinatorik und Geometrie kombiniert, um geometrische Methoden und Anordnungen zu studieren. Der Schwerpunkt der kombinatorische Geometrie liegt auf dem Studium geometrischer Objekte und ihrer Beziehungen mit kombinatorischen und algebraischen Techniken wie Abzählen und kombinatorische Optimierung. Die interessierende Objekte schließen Punkte, Geraden, Polygone, Polyeder, Graphen und andre diskrete Strukturen ein. Kombinatorische Geometrie findet zahlreiche Anwendung in verschiedenen Gebieten einschließlich Informatik, Optimierung und der Entwicklung von Algorithmen. Ein berühmtes Problem der kombinatorischen Geometreie ist das Sylvester-Gallai problem, benannt nach J.J. Sylvester und T. Gallai. Es geht dabei um die Frage, ob zu einer gegebenen endlichen Menge von nicht-kollinearen Punkten in der Ebene eine Gerade existiert, die genau durch zwei dieser Punkte geht. Dieses Problem wurde bereits seit vielen Jahren untersucht und hat bedeutendes Interesse an kombinatorischer Geometrie erzeugt. Zuerst von Sylvester im 19. Jahrhundert gestellt, wurde es 1944 von Gallai gelöst und positiv beantwortet. Dieses Gebiet bleibt aber nach wie vor eine aktive Forschungrichtung. In diesem Projekt studieren wir einige Variationen dieses Problems. Das Problem der Konstruktion eines Dreiecks mit rationalen Parametern wird `rationales Dreiecksproblem genannt. Genauer handelt es sich dabei um die Frage, obe es möglich ist, ein Dreieck zu konstruieren, dessen Seitenlängen, Höhen, Mediane und seine Fläche alle rationale Zahlen sind. Dieses Problem wurde von R. Guy gestellt. Das Problem der Konstruktion rationaler Dreiecke ist eng verknüpft mit Diophantischen Gleichungen, d.h. Polynomgleichungen mit ganzzahligen Lösungen. Trotz vieler Versuche ist eine vollständige Lösung nicht in Reichweite. In diesem Projekt planen wir dieses Problem und seine Varianten zu studieren.