Aymptotische Analysis in relativistischer Quantenphysik

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Pauligleichung, einer Erweiterung der Schrödingergleichung, die magnetische Felder und Spin berücksichtigt. Dabei behandeln wir nichtlineare zeitabhängige Gleichungen und die Frage, wie die Rückkopplung elektromagnetischen Felder, die durch die bewegte Ladung erzeugt werden, sinnvollerweise modelliert werden können. Weiters betrachten wir die Analysis dieser Modelle, d.h. Fragen der Existenz von eindeutigen Lösungen für kurze oder unendlich lange Zeiten und des semiklassischen Grenzwerts von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik. Die zweijährige Auslandsphase wird mit T. Hou am Caltech (USA) und F. Golse an der École Polytechnique (Frankreich) durchgeführt, ergänzt durch die internationalen Partner P. Germain (Imperial College London), Z. Zhou (Peking University) und Norbert J Mauser (Wolfgang Pauli Institut Wien), wo die Rückkehrphase angesiedelt ist. Die in den 1920er Jahren entdeckte Quantentheorie kann vergleichsweise einfach mit speziellen Relativitätstheorie zur relativistischen Quantenmechanik kombiniert werden. Dabei sind zentrale Gleichungen z.B. die relativistische Diracgleichung für ein Teilchen mit Spin 1/2 und sein Antiteilchen, die nicht-relativistische Schrödingergleichung und die semi-relativistische Pauligleichung. Die Wechselwirkung mit dem (von der bewegten Ladung erzeugten) elektromagnetischen Feld wird durch die 1861 entdeckten Maxwellgleichungen beschrieben. Sie sind Lorentz-kovariant, und daher relativistisch. Deshalb ist nicht klar, ob die Wechselwirkung eines nicht-relativistischen Teilchens, das der Schrödingergleichung gehorcht, mit dem von ihm selbst erzeugten Feld einfach so durch die Maxwellgleichungen statt nden kann. Die natürliche Kopplung ist hier die der Diracgleichung mit der Maxwellgleichung. Im nicht-relativistischen Grenzwert, der den Fall untersucht, wenn die typische Geschwindigkeit des Systems immer kleiner im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit wird, kann gezeigt werden, dass die Dirac-Maxwell-Gleichung zur Schrödinger-Poisson-Gleichung wird, wobei die Poissongleichung nurmehr die elektrostatische Wechselwirkung (ohne Magnetfeld und Spin) beschreibt. Im sogenannten semiklassischen Grenzwert wird hingegen untersucht, was passiert wenn das System klassisch wird, d.h. im Kontext immer größerer Systeme und auf alltäglichen Längenskalen betrachtet wird (dies entspricht dem Verschwinden der Planck-Konstante). Dabei treten Quantene ekte in den Hintergrund. Dieses Projekt soll nicht nur o ene Fragen beantworten (z.B. wogegen die Dirac-Maxwell- Gleichung im semiklassischen Grenzwert konvergiert), sondern auch die physikalisch sinnvollen Modelle und Gleichungen identi zieren. Daher ist das Projekt gleichermaßen der Mathematik und der Physik gewidmet. Weiters sollen neue mathematische Methoden für diese Fragen entwickelt werden, (z.B. die Averaging Lemmas in Zusammenarbeit mit F. Golse). Ein Teil des Projekts der numerischen Simulation gewidmet. ff fi ff fi