Diophantische und metrische Zahlentheorie

Die diophantische Zahlentheorie, benannt nach dem antiken griechischen Mathematiker Diophantus von Alexandria, behandelt Problemstellungen rund um natürliche Zahlen (also die Zahlen 1, 2, 3, ...). Solche Probleme beschäftigen und faszinieren Menschen schon seit tausenden von Jahren. Oft sind es sehr einfache Fragen, die überraschend schwierig zu beantworten sind. Ein Beispiel für ein offenes Problem ist das folgende: Sind 25 und 27 die einzigen perfekten Potenzen mit Abstand genau 2? Mit "perfekten Potenzen" sind hier Quadratzahlen, Kubikzahlen usw. gemeint (also die Zahlen 4, 8, 9, 16, 25, ). Die metrische Zahlentheorie hingegen beschäftigt sich mit Fragen der Form: "Wie groß ist der Anteil reeller Zahlen mit dieser oder jener Eigenschaft?" Damit lassen sich Aussagen über Eigenschaften treffen, die für einzelne ausgewählte Zahlen sehr schwer zu bestimmen sind. Beispielsweise ist immer noch nicht genau bekannt, wie "effizient" sich Pi durch rationale Zahlen annähern lässt. Für "fast alle Zahlen" kann man dies hingegen sehr genau beantworten, insbesondere seit dem Beweis der Duffin-Schaeffer Vermutung vor wenigen Jahren. In diesem Projekt wollen wir sowohl Fragestellungen als auch Methoden aus beiden Gebieten der Zahlentheorie kombinieren, um tiefere Einblicke in die Eigenschaften von Zahlen zu erlangen. Unsere konkreten Ziele beinhalten die folgenden: Erstens, die Verteilung von Abständen bestimmter Potenzen besser zu verstehen. Zweitens, Fortschritte bei sogenannten shrinking target problems zu erreichen. Und drittens, genauer zu untersuchen, wie gut "zufälliges Verhalten" imitiert werden kann durch ein Zusammenspiel aus schnell wachsenden Folgen ganzer Zahlen und einzelner reeller Zahlen. Bei den meisten Problemen wird die Approximierbarkeit von reellen Zahlen durch rationale eine wichtige Rolle spielen.