Das Lösen von Inversen Problemen mit Framezerlegungen

Ob bei einer Computertomographie (CT) in der Medizin oder bei der Erforschung des Erdinneren in der Geophysik oft müssen Forschende aus indirekten Messungen auf verborgene Strukturen schließen. Solche Aufgaben nennt man inverse Probleme. Sie sind besonders herausfordernd, weil schon kleine Fehler in den Messdaten zu großen Abweichungen in den Ergebnissen führen können. Das erschwert verlässliche Aussagen obwohl gerade in der medizinischen Diagnostik oder bei Umweltanalysen Genauigkeit entscheidend ist. Deshalb sind spezielle mathematische Verfahren notwendig, um aus unvollständigen und fehlerbehafteten Daten dennoch zuverlässige und verlässliche Informationen zu gewinnen. Im Detail liegt ein mathematisches Modell zugrunde, das umgekehrt werden muss. Solche inversen Modelle sind jedoch oft instabil kleine Fehler in den Messdaten können sich verstärken oder sie lassen sich gar nicht erst direkt rekonstruieren. Um dennoch aus unvollständigen oder fehlerhaften Daten stabile Informationen zu gewinnen, werden sogenannte Regularisierungsmethoden eingesetzt. Diese liefern eine stabile Annäherung an das gesuchte, umgekehrte Modell. In diesem Projekt werden speziell Regularisierungsmethoden untersucht, die auf sogenannten Frame- Zerlegungen basieren. Dabei wird das zugrunde liegende Modell gezielt in kleinere Bestandteile zerlegt, um sowohl Störungen als auch zentrale Informationen besser identifizieren und herausfiltern zu können. Im Vergleich zu klassischen Ansätzen bieten diese Methoden mehr Flexibilität und lassen sich präziser an unterschiedliche inverse Probleme anpassen. Zudem besteht großes Potenzial, sie weiterzuentwickeln und in einem breiteren Anwendungsfeld einzusetzen. Ziel dieses Projekts ist es, ein vertieftes Verständnis der frame-basierten Methoden zu gewinnen, um ihre Anwendung in komplexen Situationen gezielt zu erweitern und zu verbessern. Neben der Entwicklung und Analyse entsprechender Regularisierungsmethoden wird auch die Existenz sowie die mathematische Grundlage der Frame-Zerlegungen für verschiedene zugrunde liegende Modelle untersucht. Zudem wird erforscht, wie sich diese Verfahren mit modernen Lernmethoden kombinieren lassen, um noch genauere und verlässlichere Ergebnisse zu erzielen. Die Forschung verbindet verschiedene mathematische Disziplinen wie Optimierung, numerische Mathematik und harmonische Analyse. Das Projekt wird zunächst im Rahmen einer zweijährigen Auslandsphase in Mannheim durchgeführt und anschließend für ein weiteres Jahr in Innsbruck fortgesetzt.