Additive Group Theory and Non-Unique Factorizations

Die Theorie der nicht-eindeutige Faktorisierungen hat ihren Ursprung in der algebraischen Zahlentheorie. Ein Integritätsbereich heisst faktoriell, wenn jede von Null verschiedene Nicht-Einheit eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt und diese Faktorisierung (bis auf Assoziierte und die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig ist. Der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers hat, wie jeder noethersche Ring, die Eigenschaft, dass jede von Null verschiedene Nicht-Einheit ein Produkt endlicher vieler irreduzibler Elemente ist, aber im allgemeinen gibt es viele solcher Darstellungen. Es ist die Haupaufgabe der Faktorisierungstheorie, die verschiedenen Phänomene der Nicht-Eindeutigkeit von Faktorisierungen zu beschreiben und diese in Termen von algebraischen Invarianten von R zu klassifizieren. Ist R ein Krullbereich, so hängen die meisten Phänome nur von der Klassengruppe von R und der Verteilung der Primdivisoren in den Klassen ab, und können daher mittels des Monoids der Nullsummenfolgen über der Klassengruppe untersucht werden. Diese Verbindung ist besonders eng, wenn die Klassengruppe endlich ist und jede Klassengruppe Primdivisoren enthält. Dies trifft für Ganzheitsringe algebr. Zahlkörper zu. Die Additive Gruppentheorie hat ihren Ursprung in der Additiven Zahlentheorie. Ausgehend von klassischen Additionssätzen, hat dieses Gebiet eine stürmische Entwicklung erfahren, initiiert durch Arbeiten von Erdös, Freiman, Kneser und Mann. Das klassische Thema ist die Untersuchung (der Struktur) von Summenmengen A+B = { a+b | a liegt in A und b in B}, wobei A und B (endliche) Teilmengen einer abelschen Gruppe G sind. In der zugehörigen inversen Fragestellung wird von einer Summenmenge ausgegangen, die einer Extremalbedingung genügt, und versucht auf die Struktur der Summanden rückzuschliessen (Stichwort: direkte und inverse additive Probleme). Angeregt von Fragen der Kombinatorischen Zahlentheorie werden all diese Probleme auch für Folgen (Multimengen) über einer abelschen Gruppe G studiert. Faktorisierungstheorie (in Krullmonoiden) und Additive Gruppentheorie, sind eng verbunden (über das Monoid der Nullsummenfolgen über der Klassengruppe des Krullmonoids). Zentrale Invarianten der Faktorisierungstheorie, wie zum Beispiel die Davenport Konstante einer abelschen Gruppe, haben eine unabhängige Tradition in der Additiven Gruppentheorie. von größerer Bedeutung ist, dass zentrale Methoden der Faktorisierungstheorie (über Krullmonoiden) auf Ergebnissen der Additiven Gruppentheorie basieren (Stichwort: Additionssätze). In diesem Projekt sollen vorrangig die folgenden Fragen untersucht werden. Kombinatorische Invarianten der Faktorisierungstheorie: Wir konzentrieren uns auf die (verallgemeinerten) Davenport Konstanten und die Kreuzzahl endlicher abelscher Gruppen. Diese Invarianten tauchen in natürlicher Weise in der Faktorisierungstheorie auf, sowohl direkt als auch als Kontrollparameter anderer Invarianten (wie des Verkettungsgrades und der Distanzenmenge). Die meisten bisherigen Ergebnisse beschränken sich auf p-Gruppen und auf Gruppen vom Rang höchstens zwei. Inverse (Nullsummen) Probleme über endlichen abelschen Gruppen: Die Untersuchungen der zu den klassischen Invarianten D (G), s(G) und Eta (G) gehörigen inversen Probleme gehen bis in die sechziger Jahre des vorigen Jahrhunderts zurück, beschränken sich aber hauptsächlich auf den zyklischen Fall. Neuere Untersuchungen für Gruppen vom Rang zwei basieren auf starken Additionssätzen. Antworten auf diese inversen Fragen geben unter anderem Informationen über die Struktur kurzer Längenmengen.