The geometry of matrices and linear preserver problems

Ziel des Projektes ist die Untersuchung der Geometrie der Matrizen und ihre Anwendungen auf das Forschungsgebiet der "linear preserver problems". In der Geometrie der Matrizen wurden vier Arten von L. K. Hua untersucht: Symmetrische, Hermitesche, alternierende und beliebige m x n - Matrizen. Das Ziel der Untersuchungen ist es, die Bewegungsgruppe durch möglichst wenige geometrische Invarianten zu charakterisieren. Hua hat beispielsweise herausgefunden, dass die Invariante "Adjacency" die Bewegungsgruppe charakterisiert. Diese Aussage ist als Fundamentalsatz der Geometrie der Matrizen bekannt. Der Fundamentalsatz der Geometrie der Matrizen hat Anwendungen in den "linear preserver problems". "Linear preserver" sind lineare Abbildungen linearer Räume von Matrizen, die bestimmte Eigenschaften oder Relationen invariant lassen. Es gibt zahlreiche weitere Forschungsgebiete, die eng mit der Geometrie der Matrizen zusammenhängen, etwa die Laguerre Geometrie, die Geometrie der speziellen Relativitätstheorie, Ring-Geometrie und Polarräume. Wir beabsichtigen, folgende Probleme zu behandeln: 1. Adjacency erhaltende Abbildungen der Geometrie der alternierenden Matrizen und seine Anwendungen auf linear preserver problems. 2. Abstand k erhaltende Abbildungen. 3. Adjacency erhaltende Abbildungen zwischen unterschiedlichen Räumen. 4. Quasi-commutativity erhaltende Abbildungen.