Heights in Diophantine Analysis and Applications

Dieses Projekt beschäftigt sich mit Höhen und ihren Anwendungen in der Diophantischen Analysis, der Arithmetik von Körpern und der Diophantischen Geometrie. Höhen sind grundlegende Werkzeuge dieser Gebiete, welche die Quantifizierung der arithmetische Komplexität algebraischer Objekte erlauben. Das Projekt umschreibt vier grundlegende, eigenständige Forschungsprobleme, welche jedoch allesamt enge Verknüpfungen aufweisen. Im folgenden beschreiben wir kurz die einzelnen Teilprojekte. Im Teilprojekt (A) versuchen wir Erweiterungen und Variationen von Northcotts Theorem für gewisse unendliche Körpererweiterungen der rationalen Zahlen zu beweisen. 1950 hat Northcott gezeigt, dass Mengen von algebraischen Zahlen von beschränktem Grad und beschränkter Höhe endlich sind. Obschon der Beweis sehr einfach ist, hat sich dieses Resultat als ausgesprochen nützlich, mit zahlreichen Anwendungen in der Zahlentheorie, erwiesen. 2001 haben Bombieri und Zannier ähnliche Resultate für gewisse Körpererweiterungen von unendlichem Grad bewiesen, z.B. der Körper erzeugt durch alle quadratischen Zahlen. Der Beweis dieser Resultate hat jedoch nichts mehr gemein mit der Einfachheit von Northcotts Theorem. Bombieri und Zannier haben zudem die Frage gestellt, ob diese sogenannte Northcotteigenschaft ebenfalls für Körper, erzeugt von Zahlen höheren Grades, erhalten bleibt. In einem kürzlichen Artikel haben wir ein neues Kriterium for die Northcotteigenschaft hergeleitet und als Anwendung zahlreiche neue Beispiele angegeben. Desweiteren haben wir Fortschritte zu Bombieri und Zanniers Frage gemacht. Es ist klar, dass unser Kriterium weiter verfeinert werden kann und dies wird automatisch zu weiteren Fortschritten auf diesem Gebiet führen. Das grosse Zukunftsziel ist eine vollständige Beantwortung Bombieris und Zanniers Frage. Teil (B) ist eine Zusammenarbeit mit Professor Jeffrey Vaaler von der University of Texas at Austin und dreht sich um Höhenschranken für kleine Erzeuger von globalen Körpern, besonders Zahlkörpern. Wir versuchen neue obere und untere Schranken für die kleinste Höhe eines Elementes, welches den gesamten Körper (über den rationalen Zahlen) erzeugt, zu beweisen. Diese Schranken werden ausgedrückt in Abhängigkeit des Grades und der Diskriminante des Körpers und sie würden offene Fragen, formuliert von Wolfgang Ruppert, beantworten. Trotz ihrer Bedeutung und fundamentalen Natur wurden diese Fragen bisher nur relativ wenig beachtet. Dies ist erstaunlich, auch im Hinblick auf Ellenbergs und Venkateshs entdeckten Zusammenhang zwischen solchen Höhenschranken und dem Torsionsanteil von Klassengruppen. Wir haben bereits mehrere neue Resultate, einige davon beantworten Rupperts Fragen in Spezialfällen andere zeigen, dass Ellenbergs und Venkateshs Resultate zu der Struktur der Klassengruppe in vielen (noch nicht spezifizierbaren) Fällen verbessert werden können. John Voights Tabellen für Zahlkörper kleinen Grades suggerieren jedoch, dass Ellenbergs und Venkateshs Resultate für total reelle Körper von Grad mindestens 4 verbessert werden können. Die Teilprojekte (C) und (D) beschäftigen sich mit dem Zählen von Punkten beschränkter Höhe auf projektiven Varietäten, definiert über einem globalen Körpers k. Anstatt jedoch k-rationale Punkte zu zählen, wollen wir Asymptoten der Punkte fest vorgegebenen Grades, über dem Grundkörper k, finden, wenn die Höhe nach unendlich strebt. In (C) versuchen wir asymptotische Formeln für die Anzahl Punkte festen Grades und beschränkter Höhe auf abelschen Varietäten, definiert über Zahlkörpern, herzuleiten. Obgleich es sich hierbei um eine sehr natürliche Problemstellung handelt, ist nahezu nichts in dieser Richtung bekannt. Allerdings hat Suion Ih von der University of Colorado at Boulder eine möglich asymptotische Formel vorgeschlagen. Als erstes versuchen wir diese Formel im Spezialfall quadratischer Punkte über einer expliziten rationalen elliptischen Kurve zu beweisen oder zu widerlegen. Ein ambitioniertes Fernziel ist die Untersuchung von Punkten höheren Grades auf allgemeineren abelschen Varietäten. Hier könnten numerische Experimente helfen, das richtige Grössenwachstum der Zählfunktion zu erahnen. Schliesslich in Teilprojekt (D) setzen wir unsere gemeinsame Zusammenarbeit mit Jeffrey Thunder von der Northern Illinois University über das Zählen von Punkten im projektiven Raum über einem Funktionenkörper in positiver Charakteristik fort. Wir haben bereits asymptotische Resultate erzielt falls die Dimension des projektiven Raumes grösser ist als der Grad der Punkte und wir sind sehr optimistisch, dass wir unsere Resultate weiter verallgemeinern resp. die Bedingungen an Grad und Dimension mildern können. Diese Resultate können dann benutzt werden, um asymptotische Resultate für die Anzahl vollständig faktorisierbarer Formen beschränkter Höhe abzuleiten. Möglicherweise gibt es auch interessante Anwendungen in der Kodierungstheorie.