Ergodische Eigenschaften des Stochastischen Shell Model

To model homogeneous incompressible fluids one usually uses the Navier-Stokes equations. In most practical situations the numerical investigation of the three dimensional Navier-Stokes equations at high Reynolds` number is ubiquitous. However, it is well-known that it is difficult to compute analytically or via direct numerical simulations these kinds of fluids. To overcome this problem, many efforts have been made to construct models which can exhibit the physical properties of the three dimensional Navier-Stokes equations at high Reynolds` number. These are the so called models of turbulence and they are designed in such a way that they can capture the statistical properties of Navier-Stokes equations at a lower computability cost. Two examples are the so called sabra shell and GOY models which are simpler than the Navier-Stokes equations and are very promising for the investigation of turbulence in hydrodynamics. For the mathematical study towards the understanding of turbulence in hydrodynamics mathematicians use very often stochastic partial differential equations. These stochastic equations are usually obtained by adding a noise term in the dynamical equations of the fluid models. In this proposed project we intend to study the stochastic shell models of turbulence. For stochastic shell models with a Gaussian noise, the problem has been extensively studied. Therefore, we will mainly assume that the noise term is represented by random perturbation with discontinuous paths. Our objective is to study the long-time behavior of the stochastic shell models. For this purpose we need to establish some results related to the existence and uniqueness of the solution of our models. After that we will investigate the existence of invariant measure. We also want to study the uniqueness of an ergodic invariant measure and the rate of convergence towards this invariant measure. This is a very challenging task and it has never been done before for the stochastic shell models driven by Lévy noise. The problems we want to address are out of reach of the current state of the art. Therefore, to tackle these problems we have to elaborate new and sophisticated tools. It follows that the proposed project will potentially have a great impact on the development of the theory of stochastic partial differential equations. We also hope that our project will shed some light on the turbulence in hydrodynamics.

Um nicht komprimierbare Flüssigkeiten zu beschreiben verwendet man in der Regel die Navier-Stokes-Gleichungen. Ein wichtiger Parameter dieser Gleichungen ist die Reynolds- Zahl: ist diese niedrig, ist die Viskosität der Flüssigkeit hoch, wie z.B. bei Honig. Ist diese hoch, ist die Viskosität niedrig, wie z.B. bei Wasser. Ein Problem, mit dem man in der Praxis konfrontiert ist, ist dass das System numerisch instabil wird falls die Reynolds Zahl zu hoch ist. So ist eine numerische Berechnung von Flüssigkeiten mit hoher Reynolds Zahl praktisch fast nicht durchführbar. Ein Ausweg ist, Gleichungen zu betrachten die ähnliche statistische Eigenschaften wie die Navier-Stokes Gleichungen besitzen, die aber numerisch einfacher zu berechnen sind. Zwei Beispiele solcher Gleichungen sind die sogenannten Sabra Shells und GOY Modelle. Diese Modelle sind einerseits einfacher zu simulieren, andererseits kann man mit Hilfe dieser Modelle das Phänomen der Turbulenz bei Flüssigkeiten studieren. Für das Verständnis der Turbulenz in der Hydrodynamik addiert man eine zufällige Störung, einen sogenannten stochastischen Term. Man erhält somit eine stochastische partielle Differentialgleichung. In diesem Projekt analysierten wir die Langzeitdynamik verschiedener stochastischer Shell Modelle. Dabei betrachteten wir allerdings stochastische Modelle, die als stochastische Störung einen zufälligen Sprungprozess hatten. Zuerst zeigten wir die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, danach untersuchten wir die Existenz eines Invarianten Maßes. Als nächstes untersuchten wir die Eindeutigkeit dieses invarianten Maßes. In deterministischen Systemen ist die Eindeutigkeit oft nicht gegeben, und oft ist es der Fall, dass durch den zufälligen Störterm erst die Eindeutigkeit existiert. In einem weiteren Resultat zeigten wir, dass für jede Anfangsverteilung die Verteilung zurzeit t sich exponentiell schnell dem invarianten Maß annähert. Als letztes untersuchten wir numerische Methoden zur Berechnung einer Lösung von stochastischen Shell Modellen. Wir hoffen in der Zukunft solche Modelle dann auch wirklich simulieren zu können.