Endlich-Geometrische Aspekte der Quantentheorie

In den letzten Jahren fanden eine Reihe endlicher Geometrien Anwendung in der Quantenin-formationstheorie. Hervorzuheben sind projektive Geraden über modularen Ringen im Zu-sammenhang mit verallgemeinerten Pauli- Gruppen einzelner Qudits, symplektische und or-thogonale polare Räume, da sie die Vertauschbarkeit der Elemente der Pauli-Gruppen von Qubit-Systemen beschreiben, sowie gewisse verallgemeinerte Polygone, welche die "black holequbit correspondence" [BHQC] in neuem Licht erscheinen lassen. Das Projekt verfolgt zwei Ziele: erstens ein tieferes Verständnis der bisher gewonnenen Anwendungen der endli-chen Geometrie in der Quantentheorie und zweitens die Suche nach endlichen geometrischen Strukturen, die in einem größeren Kontext physikalische Bedeutung erlangen könnten. Im Rahmen der ersten Zielsetzung planen wir insbesondere eine detaillierte geomet-rische Analyse der Pauli- Gruppen von Systemen aus drei und vier Qubits. Bei Drei-Qubit-Systemen werden wir die Komplemente der geometrischen Hyperebenen des "split Cayley hexagon" der Ordnung zwei untersuchen; dieses ist eine wichtige Untergeometrie eines symplektischen polaren Raumes. Da diese Komplemente reguläre kubische Graphen sind, liegt es nahe, nach bipartiten Exemplaren zu suchen. Letztere sind zu den Inzidenzgraphen gewisser symmetrischer Konfigurationen isomorph. Die auftretenden Eigenschaften und Querverbindungen sollen dabei helfen, bisher unerkannte geometrische Eigenschaften der Pauli-Gruppen von Drei-Qubit-Systemen (oder gewisser ihrer Teilmengen) zu erkennen und zu beschreiben. Für Vier-Qubit-Systeme erscheint die Untersuchung jener hyperbolischen Quadrik vielversprechend, welche die symmetrischen Elemente beschreibt. Es ist wohlbe-kannt, dass diese Quadrik einen Graphen-Automorphismus der Ordnung drei besitzt, der zum Trialitätsprinzip führt. Die darauf fußende Transformation soll dazu dienen, um neue und wichtige physikalische Beziehungen unter verschiedenen Teilmengen der Gruppe zu finden. Im Rahmen des zweitgenannten Ziels ist geplant, solche projektiven Geraden über Ringen zu untersuchen, in denen es "nicht unimodulare" Punkte gibt. Letztere könnten gewissen "unschö-nen" Pauli-Gruppen entsprechen. Ferner sollen, im Hinblick auf einen möglichen Zusammenhang zu BHQC, gewisse verallgemeinerte Polygone und deren Produkte mit an-deren Punkt-Geraden- Strukturen analysiert werden. Ein erfolgreicher Abschluss des Projekts sollte unser Verständnis über die Rolle der endlichen Geometrie in der Quantenphysik vertiefen und die mathematische Basis derart erweitern und absichern, dass sich auch andere physikalische Anwendungen eröffnen könn-ten.

Mit Hilfe von Konzepten der endlichen Geometrie konnten wir wesentliche Einsichten in die geometrische Natur der Pauli-Gruppen zu drei und vier Qubits gewinnen. Im erstgenannten Fall dienten dazu einerseits das kleinste Split Cayley Hexagon, dessen geometrische Hyperebenen und Polygone kleiner Ordnung, sowie andererseits das Komplement der Klein-Quadrik über dem zwei-elementigen Körper. Im zweitgenannten Fall spielten die Trialitätsquadrik und eine gewisse Lagrangesche Grassmann-Mannigfaltigkeit eine zentrale Rolle. Die Pauli-Gruppe zu drei Qubits besitzt bemerkenswerte Teilmengen, deren geometrische Analoga die Pasch-Konfiguration sowie gewisse Geradensterne, Acht- und Neunecke sind. Im Falle von vier Qubits konnten wir entsprechende Strukturen auf der Trialitätsquadrik finden. Wir ermittelten auch einen Zusammenhang zwischen den Pauli-Gruppen zu zwei und drei Qubits mit Hilfe einer kombinatorischen Grassmann-Struktur sowie eine ähnliche Kopplung für vier und acht Qubits, die durch eine Lagrangesche Grassmann-Mannigfaltigkeit vermittelt wird. Schließlich untersuchten wir andere Geometrien, wie etwa duale Segre- Mannigfaltigkeiten und eine dreifache Überlagerung des kleinsten verallgemeinerten Vierecks, und reflektierten über die physikalische Bedeutung jener Strukturen, welche eine Pasch-Konfiguration enthalten.