Polyhedrale Netze in der geometrischen Datenverarbeitung

In the proposed project we study means to create, edit and investigate polyhedral meshes. Such meshes are non- triangular meshes in which all faces are planar. Polyhedral meshes are important in architectural geometric design, as they can be realized with flat plates made of wood or glass, for example. Our recent research of polyhedral-mesh processing focused on investigating linear shape-spaces of mesh deformations, and on the remeshing of triangular meshes into hexagonally-dominant meshes. In this project, we propose to develop three different methods beneficial for the geometry processing of such meshes, and that are explained as follows. First, we define and study discrete polyhedral surface flows for infinitesimal surface editing. Our focus is on mean curvature and Willmore flows. Such flows would allow us to define concepts like discrete polyhedral minimal surfaces and constant mean-curvature surfaces in a new way. This is done by employing continuous deformation in a linear subspace of compatible projective maps. Next, we establish an algorithm for smooth conjugate vector-field design, which is the basis for remeshing surfaces into polyhedral meshes. The algorithm is based on a complex-polynomial view of nonorthogonal vector fields on surfaces, and offers an easy control over smoothness and user constraints, without resorting to involved mixed- integer formulations. Finally, we study vector calculus on polygonal and polyhedral meshes, in order to consistently define discrete- geometric counterparts to shape operators, affine connections and more. These differential concepts, once consistently defined, can be used to study vector fields on non-triangular surfaces, which are important for various applications in geometry processing, such as deformation and parametrization.

Ziel dieses Projektes war die Entwicklung von Techniken, mit deren Hilfe man Polyederflächen erstellen und so editieren kann, dass Netze mit ebenen Oberflächen entstehen. Solche Netze sind für Architekturentwürfe sehr nützlich und werden wegen ihrer mathematischen Eigenschaften sehr geschätzt. In dem Projekt wurden zwei unterschiedliche Wege beschritten: einmal wurden Netze aus bereits bestehenden Dreiecksnetzen entwickelt und zweitens wurden vorgegebene polyedrische Netze zu ästhetisch befriedigenden neuen Netzen verformtEin Artikel, der die erste Vorgehensweise beschreibt, wurde in SGP 2014 publiziert und mit dem Best Paper Award ausgezeichnet. Ein Nachfolgeartikel wurde kürzlich bei SIGGRAPH 2015 eingereicht. Eine weitere Einreichung bei SIGGRAPH 2015 befasst sich mit der zweiten Herangehensweise. Darüber hinaus konnten die in diesem Projekt entwickelten Techniken auch für andere Arbeiten nutzbar gemacht werden, beispielsweise für das Erstellen von Sechsecksnetzen. Ein weiteres Anwendungsbeispiel sind allgemeine Polyeder-Muster.Diese Arbeiten entstanden in Zusammenarbeit mit Kollegen in der Forschungsgruppe der TU Wien, wo der Projektleiter für die Dauer des Projektes tätig war, und in internationaler Zusammenarbeit mit Kollegen, die an der ETH Zürich, am TechnionIIT, der Bar-Ilan University und bei KAUST beheimatet sind.