Lokale Theorie von Banachräumen und Konvexgeometrie

Im ersten Teil dieses Research Proposals wollen wir endlich-dimensionale Teilräume von L1, d.h. die sogenannte lokale Struktur dieses Raumes, und angrenzende Themen, wie etwa probabilistische und kombinatorische Ungleichungen untersuchen. Präziser gesagt, wir wollen einige Klassen von endlich-dimensionalen Folgenräumen studieren, d.h. verallgemeinerte Orlicz Räume wie etwa Musielak-Orlicz Räume, Orlicz-Lorentz Räume oder Musielak-Orlicz-Lorentz Räume. Das Ziel ist, einfach zu verifizierende Bedingungen zu finden, um entscheiden zu können ob ein gegebener Raum ein Teilraum von L1 ist oder nicht. Die in unserem Ansatz verwendeten Methoden involvieren kombinatorische und probabilistische Ungleichung in Verbindung mit Orlicz Normen. Aus diesem Grund werden wir im ganzen Proposal solche Ungleichungen genauer studieren. Wir wollen in diesem Zusammenhang einige Inversions-Formeln beweisen, die bei gegebener Orlicz Funktion angeben, wie die Verteilung der Zufallsvariablen zu wählen ist, damit die probabilistischen Ausdrücke äquivalent zur gegebenen Orlicz Norm sind. Solche Inversions-Formeln liefern dann direkte Einbettungen gegebener Orlicz Räume nach L1. In den letzten Jahren tauchten mehr und mehr Anwendungen solcher Ungleichungen in verschiedensten Gebieten auf, z.B. in der nicht-parametrischen Statistik, beim Studium von Zufallsmatrizen und in der Konvexgeometrie. Aus diesem Grund beschäftigen wir uns im dritten Teil des Research Proposals mit Anwendungen in der Konvexgeometrie, d.h. genauer gesagt, wir studieren den Erwartungswert von Support-Funktionen und die mittlere Weite von Zufallspolytopen und gestörten Zufallspolytopen und sogenannte mittlere äußere Radien von Zufallspolytopen. Die probabilistischen Ungleichungen tauchen in diesem Zusammenhang auf natürliche Weise auf.

Die Asymptotische Geometrische Analysis verbindet im Großen und Ganzen drei Disziplinen der Mathematik: die Funktionalanalysis, Konvexgeometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie.Die Objekte, die studiert werden, sind hoch-dimensionale, lineare Strukturen, wie etwa endlich-dimensionale normierte Räume, lineare Operatoren auf diesen, konvexe Körper und das asymptotische Verhalten quantitativer Parameter, wenn die Dimension gegen unendlich geht. Das Auftreten solcher Systeme, die eine Vielzahl an Variables beinhalten, verlangt ein tiefes Verständnis hoch-dimensionaler Phänomene. Dieses Projekt trug zu einem vertieften Verständnis der geometrischen Struktur von endlich, hoch-dimensionalen Banachräumen bei.Die Hauptresultate, die im Rahmen dieses Projektes bewiesen wurden, beziehen sich auf die Charakterisierungen von Teilräumen von klassischen Banachräumen mit einer gewissen symmetrischen Struktur, probabilistischen Methoden der Banachraumtheorie im Zusammenhang mit Ordnungsstatistiken und die Geometrie von Zufallsmengen in hohen Dimensionen. Strukturen solcher Art tauchen auf natürliche Weise in der mathematischen Physik und der theoretischen Informatik auf.