Additive Kombinatorik und Arithmetik von Krullmonoiden

Faktorisierungstheorie mit Fokus auf Krullmonoiden. Sei H ein atomisches Monoid. Dann besitzt jede Nichteinheit eine Faktorisierung in Atome (irreduzible Elements) von H . Im allgemeinen gibt es viele (wesentlich verschiedene) Faktorisierungen, und das Ziel ist, die verschiedenen Phänomene der Nicht-Eindeutigkeit zu beschreiben und zu klassifiezieren. Ist a = u1 . . . uk eine Faktorisierung in Atome, so nennt man k die Länge, und die Menge L(a) aller möglichen Faktorisierungslängen heißt Längenmenge von a. Ist H ein Krullmonoid, so sind Längenmengen endlich und nichtleer, und hängen nur von jener Teilmenge GP der Klassengruppe G ab, die Primdivisoren enthalten. Insbesondere können Längenmengen in H im Monoid der Nullsummenfolgen über G P studiert werden. Additive Kombinatorik mit Fokus auf Nullsummentheorie. Nullsummentheorie ist ein Teilgebiet der Additiven Kombinatorik, also der Additiven und Kombinatorischen Zahlentheorie. Insbesondere im letzten Jahrzehnt war dieses Gebiet, so wie die Additive Kombinatorik im allgemeinen, in rasanter Entwicklung. Ein zentrales Thema ist das Studium der Nullsummenfolgen und der nullsummenfreien Folgen, wobei unter Folgen hier endliche, ungeordnete Folgen gemeint sind mit möglicher Wiederholung der Elemente. Fragen über derartige Folgen lassen sich oft in Fragen über Mengen zurückführen, und werden dann mit der Theorie über Summenmengen studiert. Somit sind Additionssätze von zentraler Bedeutung, aber auch polynomiale Methoden und Gruppenringe sind entscheidende Hilfsmittel. Die Menge aller Nullsummenfolgen über einer Menge G P (mit Zusammenkleben als Gruppenoperation) bildet ein Krullmonoid. Dieses Projekt liegt in der Überschneidung obiger Gebiete, und ist durch neue Entwicklungen in diesen inspiriert. Wir studieren Krullmonoide aus der Zahlentheorie, die eine endliche Klassengruppe G besitzen und in allen Klassen Primdivisoren haben (wie etwa Holomorphyringe in globalen Körpern), und Krullmonoide aus der Modultheorie. Ist C eine Klasse von Modulen (abgeschlossen unter endlichen direkten Summen, direkten Summanden und Isomorphismem), sodass alle Endomorphismenringe EndR(M ) semilokal sind, dann bildet die Menge der Isomorphieklassen ein Krullmonoid. In vielen relevanten Fällen ist die Klassengruppe G unendlich, und die Teilmenge GP jener Klassen, die Primdivisoren enthalten, eine echte Teilmenge. Wir studieren Nullsummenprobleme über derartige Teilmengen GP G . Unser Ziel sind sowohl abstrakte Endlichkeitsresultate für arithmetische Invarianten (wie zum Beispiel für Längenmengen) als auch die Herleitung genauer Werte im Falle, dass GP = G endlich ist.

Sei H ein atomisches Monoid. Dann kann man jede Nicht-Einheit als endliches Produkt von Atomen (irreduziblen Elementen) schreiben. Im allgemeinen gibt es viele (wesentlich) ver- schiedene Faktorisierungen, und das Hauptziel der Faktorisierungstheorie ist es, die verschiede- nen Phanomene der Nicht-Eindeutigkeit zu beschreiben und zu klassifizieren. Ist a = u1 . . . uk eine solche Faktorisierung in Atome, so heißt k Lange der Faktorisierung, und die Menge L(a) aller auftretenden Faktorisierungslangen heißt Langenmenge von a. Sei nun H ein Krullmonoid mit endlicher Klassengruppe G und Primdivisoren in allen Klassen (Holomorphyringe in globalen Korpern sind solche Krullmonoide). Dann hangen die Langenmengen nur von der Klassengruppe ab und konnen mit Methoden der Additiven Kombinatorik untersucht werden. Es war bereits vor Projektbeginn bekannt, dass Langenmengen AAMPs (also verallgemein- erte arithmetische Progressionen) sind mit globalen Schranken fur alle Parameter, und dass die Menge * (G) (dies ist die Menge der moglichen Differenzen in langen AAMPs) endlich ist. In einer gemeinsamen Arbeit (mit dem Titel The set of minimal distances in Krull monoids, er- schienen in Acta Arithmetica 173 (2016), 97 120,DOI: 10.4064/aa7906-1-2016) konnten der Projektleiter und sein osterreichischer Partner eine genaue Formel fur das Maximum angeben. In der Tat gilt max * (G) = max{exp(G) - 2, r(G) - 1} , wobei exp(G) den Exponenten der Gruppe bezeichnet und r(G) ihren Rang. Dies war das Schlusselergebnis fur alle weitere Projektarbeit. Unter anderem ermoglichte es entscheidende Fortschritte im Charakterisierungsproblem fur die Klassengruppe. Ausfuhrlichere Informationen finden sich in der Langversion des Endberichts. Die Ergebnisse dieses Projekts sind in sieben Publikationen dargelegt (davon vier in Koarbeit mit dem osterreichischen Partner), welche in internationalen mathematischen Fachzeitschriften erschienen sind. Sie sind auch von der personlichen Homepage des Projektleiters (http://qinghai- zhong.weebly.com/) abrufbar.