Kombinatorische Aspekte von Gruppen- und Semigruppentheorie

Dies ist ein Projekt an der Schnittstelle von Gruppen-/Semigruppentheorie und Kombinatorik. Es besteht aus drei Teilen: I. Ein neuer Zugang zu Präsentierungen für einfache endliche Gruppen. II. Redeis Strukturtheorie endlich erzeugter kommutativer Semigruppen und Gleichungen über endlichen Semigruppen. III. Modulare Aspekte von kombinatorischen Folgen, die einer polynomialen Rekursion genügen. Der erste Teil zielt darauf ab, eine neue und äußerst schlagkräftige Methode zur Herleitung von Präsentierungen aus Gruppenaktionen auf Mengen, die kürzlich von Basarab und dem Hauptantragssteller entwickelt wurde, auf das Studium einfacher endlicher Gruppen anzuwenden. Diese Anwendung basiert auf der Analyse und der präzisen Beschreibung aus kombinatorischer Sicht von Permutationsdarstellungen einfacher endlicher Gruppen. Das Ziel des zweiten Teils ist es, eine Abzähltheorie für Gleichungen über einer Klasse endlicher Semigruppen zu entwickeln. Etwas präziser gesagt, ist es das Ziel, unter Benutzung (hochdimensionaler) reell-analytischer Techniken sowie unter Anwendung von Redeis Strukturtheorie für endlich erzeugte kommutative Semigruppen, asymptotische Information über die Zahl der Lösungen von (Systemen von) Semigruppengleichungen in Semigruppen herzuleiten, die Kranzprodukte von endlichen Gruppen mit vollen Transformationssemigruppen sind. Der dritte Teil setzt sich mit dem Problem auseinander, Kongruenzen modulo Primzahlpotenzen für eine wichtige und umfangreiche Klasse kombinatorischer Folgen herzuleiten. Insbesondere schließt diese Klasse eine Reihe von interessanten Untergruppenabzählfunktionen ein. Es ist das Ziel, eine flexible, möglichst allgemeine und systematische Methode zu entwickeln, um solche Kongruenzen zu finden und zu beweisen, wobei besonderer Wert auf die Möglichkeit der Computerimplementierung gelegt wird

Dieses Projekt ist im Grenzbereich zwischen Gruppentheorie und Kombinatorik angesiedelt. Es konzentrierte sich hauptsachlich auf zwei Fragenkomplexe: I. Prasentierungen fur endliche einfache Gruppen. II. Modulare Aspekte von kombinatorischen Folgen. In Bezug auf den ersten Fragenkomplex wurde eine ursprunglich von Basarab und dem Projektleiter entwickelte neue und machtvolle Methode zur Gewinnung von Gruppenpra- sentierungen ausgehend von Gruppenaktionen auf Mengen weiter entwickelt und verfeinert. Dies brachte insbesondere eine wesentliche Verminderung der Zahl der benotigten Relationen sowie eine Reduktion ihrer Komplexitat. In dieser verbesserten Form wurde die Methode dann unter anderem auf die zwei-dimensionale allgemeine lineare Gruppe GL2 (O) uber einem Bewertungsring O, auf die drei-dimensionale spezielle lineare Gruppe SL3 (k) uber einem be- liebigen Korper k, auf die funf Mathieugruppen M11 , M12 , M22 , M23 , M24 , sowie auf die erste Jankogruppe J1 angewendet. In jedem Fall ergaben sich neue und strukturell aufschlussrei- che Prasentierungen; insbesondere ergab fuhrte dies zum ersten Computer-freien Zugang zu Prasentierungen fur die großen Mathieugruppen M23 und M24 . Der ursprungliche Beweis dieser Prasentierungsmethode basierte auf Hilfsmitteln der geo- metrischen Gruppentheorie, die fur diesen Zweck speziell entwickelt worden waren. Im Rah- men dieses Lise Meitner-Projektes wurde ein neuer Zugang ausgearbeitet, der von unabhangi- gem Interesse ist und auf der Losung eines verallgemeinerten Gruppenerweiterungsproblems vom Schreierschen Typ basiert. Der zweite Fragenkomplex betraf das Problem der Herleitung von Kongruenzen modulo Primpotenzen fur wichtige und umfangreiche Klassen kombinatorische Folgen. Dies ist ein bedeutendes und vielfach untersuchtes Problem angesiedelt im Grenzbereich zwischen Kombi- natorik und Zahlentheorie. In zwei Artikeln, die diesem Lise Meitner-Projekt vorangegangen sind, hat der Projektleiter zusammen mit Partner Christian Krattenthaler einen auf erzeu- genden Funktionen beruhenden semi-automatischen Zugang entwickelt, um Kongruenzen mo- dulo Potenzen von 2 und 3 fur bestimmte Klassen von kombinatorischen Folgen herzuleiten. Diese Idee wurde im Rahmen dieses Lise Meitner-Projektes weiter entwickelt und erweitert. Zum einen wurde der ursprungliche Ansatz fur 2-Potenzen zu einer allgemeinen Methode fur beliebige Primzahlpotenzen ausgebaut. Als Anwendungen ergeben sich unter anderem Kongruenzen modulo Potenzen von 3 fur die Anzahlen der nichtkreuzenden Graphen und die Anzahlen von Kreweraswegen. Des weiteren erhalt man Kongruenzen modulo beliebiger Primzahlpotenzen fur FußCatalanzahlen und Anzahlen von sogenannten blossom trees. Eine weitere Variante dieses Erzeugenden-Funktionen-Zugangs wurde entwickelt, um das Ver- halten der in der Kombinatorik allgegenwartigen Motzkinzahlen modulo 2-Potenzen zu be- stimmen. Der vielleicht spektakularste Erfolg der Erzeugenden-Funktionen-Methode betrifft die Anzahl torsionsfreier Untergruppen in endlich erzeugten virtuell freien Gruppen: Zum einen erhalten wir eine vollstandige Klassifikation dieser Folgen unter dem Gesichtspunkt der Fastperiodizitat. Des Weiteren wurde gezeigt, dass unsere Kongruenzenmethode im nicht- fastperiodischen Fall stets anwendbar ist und zu expliziten Kongruenzen fuhrt. Eine weitere Gruppe von Resultaten im Rahmen dieses Lise Meitner-Projektes, die eine geringfugig andere Richtung nehmen, basiert auf der Ableitung approximativer Versionen des beruhmten p-adischen Lemmas von Dwork uber Funktionen der Form exp(f (z)) mit einer Potenzreihe f (z). Diese approximativen Versionen wurden zur Ableitung von expliziten und ziemlich scharfen unteren Schranken vom p-Anteil von Darstellungszahlen von (zumeist) endlichen Gruppen benutzt.