Kristallordnung und Dynamik von wechselwirkenden Partikeln

Viele Materialien weisen bei niedrigen Temperaturen eine Kristallstruktur auf. Die mikroskopische Ordnung wirkt sich auf die makroskopische Ebene aus und führt zu unterschiedlichen elektromechanischen und optischen Eigenschaften. Das Verständnis des Phänomens der Kristallbildung nach den ersten Prinzipien ist noch offen. Es wird erwartet, dass die Kristallisation in großen Systemen durch die Minimierung eines geeigneten Konfigurationspotentials unter Berücksichtigung der Teilchenwechselwirkungen gut beschrieben werden kann. Der Nachweis der Periodizität von Minimierern für Konfigurationspotentiale ist jedoch in den meisten relevanten Fällen noch nicht erbracht. Das Projekt zielt darauf ab, neue rigorose Kristallisationsergebnisse zu erhalten. Wir gehen über den derzeitigen Stand der Technik hinaus und wollen das Verständnis der Musterbildung in Materialien vertiefen. Darüber hinaus werden wir uns auf die explizite Abschätzung von Energie und Oberflächenspannung, die makroskopische Geometrie von Grundzuständen und deren Stabilität gegenüber Störungen konzentrieren. Schließlich sind wir daran interessiert, die Entwicklung hin zu geordneten Gleichgewichten in evolutiven Systemen zu beschreiben und dabei die Analogie zu anderen paradigmatischen Problemen des kollektiven Verhaltens von Individuen aus der Biologie, Kinetik und Populationsdynamik zu nutzen. Ziel des Projekts ist es, die Untersuchung der Mathematik der Kristallisation komplexer Materialien voranzutreiben und die Entstehung von Nanostrukturen zu beschreiben. Indem wir die Wahl des repräsentativen Wechselwirkungsmodells schrittweise erweitern, wollen wir dreidimensionale Strukturen untersuchen und eine allgemeinere, rigorose Beschreibung der Kristallstruktur erreichen. Andererseits möchten wir die geometrischen und mechanischen Eigenschaften von Kohlenstoff-Allotropen, Fullerenen und Kohlenstoff-Nanoröhren untersuchen. Das Endziel des vorgeschlagenen Programms ist es, zu einem besseren Verständnis der grundlegenden Prinzipien der Kristallisation beizutragen, um sie für die neu entstehenden Technologien anzuwenden.

Das Projekt befasst sich mit einer mathematischen Beschreibung der typischen kristallinen Struktur von Feststoffen mit besonderem Schwerpunkt auf Kohlenstoff- Nanostrukturen. Bei der Nulltemperatur können interatomische Wechselwirkungen nur durch die Geometrie von Atomkonfigurationen bestimmt werden, und die gegenseitigen Anziehungs-Abstoßungseffekte zwischen den Teilchen werden durch klassische Potenziale im Rahmen der Molekularmechanik beschrieben.Kristalline Strukturen können als ground states für die Konfigurationsenergie auftreten, die Partikelwechselwirkungen berücksichtigt und typischerweise von inter- atomischen Abstanden und Bindungswinkeln abhängen. Das Hauptresultat, welches wir erhalten haben, ist ein Stabilitätsresultat für Kohlenstoff aufgerollte Konfigurationen wie Kohlenstoffnanoröhren. Diese Strukturen spielen für moderne Anwendungen eine entscheidende Rolle. Wir haben eine systematische, mathematische Beschreibung ihrer Geometrie und eine Modellierung ihrer mechanischen Eigenschaften präsentiert.Konkurrierende Effekte von Aggregation, Ausbreitung und Ordnung der Partikelverteilungen erscheinen auch in vielen dynamischen Modellen, Von Populationsdynamik bis hin zur Bewegung von Gaspartikeln oder biologischen Arbeitsstoffen. Ein zweiter Schwerpunkt des Projektes ist die Analyse von interaction driven evolution, d.h. von der Dynamik der Partikeldichten zu optimalen Zuständen spezifischer Wechselwirkungsenergien. In dieser Hinsicht wurden neue theoretische Ergebnisse in den mathematischen Forschungsfeldern Evolutionsgleichungen und Variationskalkül erhalten.