Kokompakte Operationen auf polyedrischen Komplexen

Geometrische Gruppentheorie studiert Gruppen durch ihre Wirkungen auf Räumen mit einer passenden Geometrie. Dieses Projekt behandelt das folgende zentrale Problem der geometrischen Gruppentheorie: Gegeben sei eine Gruppenwirkung auf einem einfach zusammenhängenden polyhedrischen Komplex. Ist es möglich, eine Gruppeneigenschaft algebraischer, geometrischer, analytischer oder algorithmischer Natur aus der entsprechenden Eigenschaft von Simplexstabilisatoren abzuleiten, wenn man passende Voraussetzungen an die Geometrie des Komplexes und die Wirkung stellt? Während solche sogenannte Kombinationsprobleme für Gruppen, die auf Bäumen operieren, bereits weitgehend erforscht sind, wurden sie für nicht-eigentliche Wirkungen auf Komplexen mit Dimension größer als 1 noch kaum behandelt. Das Hauptziel dieses Projekts ist Werkzeuge zur Behandlungsolcher Kombinationsproblemein voller Allgemeinheit aus der Sicht der Gruppenkomplexe zu entwickeln. Dabei sind zwei zentrale Konzepte der geometrischen Gruppentheorie von besonderem Interesse: hyperbolische Gruppen und kubische Gruppen. Wir beabsichtigen, sehr allgemeine Kombinationssätze für hyperbolische Gruppen zu beweisen. Diese werden Konstruktionen von neuen Beispielen hyperbolischer Gruppen mit unüblichen und unerwarteten Eigenschaften ermöglichen. Die Sichtweise dieses Projekts wird zu einem tiefgreifenden Verständnis der Geometrie und der residuellen Eigenschaften von Gruppen aus höherdimensionaler Kürzungstheorie von Kürzungstheorie über Gruppenkomplexen bis zu iterierter Kürzungstheorie führen. Im Speziellen wird sie zu einem besseren Verständnis der bisher kaum erforschten Rips-Segev-Gruppen beitragen und daher Anwendungen auf die vieldiskutierte Nullteilervermutung von Kaplansky zur Folge haben. Dieses Projekt verwendet erstmals hochmoderne Werkzeuge der Theorie höherdimensionaler Gruppenkomplexe um Gruppen durch ihrer nicht-eigentlichen Wirkungen in voller Allgemeinheit zu erforschen. Da solche Wirkungen in der geometrischen Gruppentheorie allgegenwärtig sind, werden die Ergebnisse dieses Projektes zweifelsohne große Auswirkungen auf das gesamte Forschungsgebiet haben.

Eine Gruppe ist ein mathematische Struktur die die Idee von Symmetrien einfängt, d.h. von Abbildungen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen. Hierbei ist das Verständnis der Symmetrien oft ein wichtiger Schritt um das Objekt selbst zu verstehen. Dieses Projekt beschäftigte sich mit dem geometrischen Studium der abstrakten Gruppen: Ausgehend von einer gegebenen Gruppe versucht man zuerst, sie als Symmetrien eines geometrischen Objekts zu verwirklichen. Danach kann man Methoden aus der Geometrie anwenden, um das a priori algebraische Objekt zu studieren. Dieser Standpunkt, bekannt als Geometrische Gruppentheorie, ist ein relativ aktueller und aktiver Forschungsbereich und hat sich in den letzten Jahren als äußerst erfolgreich erwiesen, mit weitreichenden Anwendungen für die birationale Geometrie oder die dreidimensionale Topologie.Ein entscheidendes Problem dieses Ansatzes ist es, die richtige Weise zu wählen, um unsere ab- strakte Gruppe als eine Gruppe von Symmetrien eines geometrischen Objekts zu realisieren. Während mehrere geometrische Werkzeuge entwickelt worden waren, um so genannte geometrische Aktionen zu untersuchen, gab es bisher nur wenige allgemeine Werkzeuge, um die allgemeinere Vorstellung von kokompakten Aktionen zu erforschen (eine Art von Aktion, die ubiquitär in Mathematik ist). Das Ziel dieses Projektes war es solche Werkzeuge zu entwickeln, mit Anwendungen für breite Klassen von Gruppen und deren natürlich assoziierten kokompakten Wirkungen. Als solches war dieses Projekt sehr erfolgreich und stellte neue Werkzeuge für große Klassen von Gruppen zur Verfügung: Die Werkzeuge, die wir entwickelten, erlaubten es ein ganz neues Licht auf die Higman-Gruppe zu werfen, ein wichtiges Beispiel in der kombinatorischen Gruppentheorie, und enthüllten wichtige und bisher unbekannte Informationen über ihre Struktur (ihre Automorphismusgruppe, ihre Untergruppen usw.) Zu unserem Ansatz war das Verständnis einer bestimmten kokompakten Aktion auf einem kübischen Komplex sehr wichtig. Wir haben auch einfache Kriterien entwickelt, die es uns ermöglichen zu bestimmen, wann eine gegebene Gruppe ein dynamisches Verhalten ähnlich einer negativen Krümmung zeigt, was starke geometrische Implikationen zur Folge hat. Wir konnten diesen Ansatz auf neue Klassen von Gruppen verschiedener Natur anwenden, wie z. B. bestimmte Gruppen von birationalen Transformationen oder sogenannte Artingruppen. Die neuen Werkzeuge, die wir entwickelten, ermöglichten es uns, eine Gruppe durch die Anordnung ihrer verschiedenen Untergruppen zu verstehen (bestimmte Unterstrukturen, die oft einfacher zu begreifen sind). Dies führte zum Beispiel zu neuen Sätzen für die Klassifikation von sogenannten hyperbolischen Gruppen und zu einem feineren Verständnis von Gruppen, das durch die wichtige Methode der kleinen Annullierung über ein freies Produkt erhalten wurde.