Untersuchungen zur Monotonie in allgemeinen Banachräumen

Mit diesem Projekt beabsichtigen wir, wesentliche Fortschritte in der Theorie und den Anwendungen von auf Banachräumen definierten Monotonen Operatoren mittels der Konvexen Analysis zu erzielen. Insbesondere planen wir, Verfeinerungen und Erweiterungen von klassischen Ergebnissen in diesem Forschungsgebiet und neue algorithmische Methoden zur Lösung monotoner Inklusionsprobleme in Banachräumen zu liefern. Wir reichen einen Forschungsplan mit drei Projekt-Zielen ein, der wie folgt gegliedert ist: 1. Untersuchungen zu Monotonie-erhaltenden Operationen in allgemeinen Banachräumen; 2. Nachforschungen zu Diagonal-Subdifferential-Operatoren mittels representativer Funktionen; 3. Behandlung monotoner Inklusionsprobleme in Banachräumen mittels neuer iterativer Methoden. Im ersten Teil des Projektes sind Untersuchungen bzgl. auf Banachräumen definierten Monotonen Operatoren vorgesehen, um weitere Kenntnisse über ihre Eigenschaften zu gewinnen. Wir wollen feststellen, wann sich gewisse Eigenschaften der Monotonen Operatoren auf komplexe Operationen dieser Operatoren übertragen. Insbesondere planen wir, einige neuere Arbeiten bzgl. der sogenannten Rockafellarschen Vermutung sorgfältig zu prüfen, da ihre Schlussfolgerungen in der Gemeinschaft der Wissenschaftler sehr umstritten sind. Als Hauptwerkzeug werden wir sogenannte representative Funktionen verwenden. Hinsichtlich der Letzteren erwarten wir ebenfalls neue Erkenntnisse. Eine spezielle und gleichzeitig faszinierende Klasse von Monotonen Operatoren verkörpern die Diagonal-Subdifferential-Operatoren. Im Rahmen des Projektes sollen diese mit Hilfe der von den Antragstellern eingeführten representativen Funktionen studiert werden. Wir erwarten neue Eigenschaften bzgl. ihrer Definitionsbereiche sowie hinsichtlich ihrer Beschränkheit bzw. Surjektivität. Außerdem möchten wir herauszufinden, welche Eigenschaften des klassischen Subdifferentials sich bei den Diagonal-Subdifferential-Operatoren reproduzieren. Das dritte Ziel betrifft iterative Methoden zur Lösung monotoner Inklusionsprobleme in Banachräumen, d.h. die Identifizierung eines Punktes, dessen durch eine Monotonie-erhaltende Operation erzeugte Bildmenge einen gegebenen Punkt enthält. Zahlreiche interessante Klassen von Problemen lassen sich als solche darstellen, z.B. konvexe Optimierungsaufgaben. Wir erwarten ein neues Dualitätsschema für monotone Inklusionsprobleme, um dieses zur Formulierung neuer primal- dualer Verfahren zu verwenden. Beschleunigungen dieser Algorithmen mittels Inertial-Methoden sollen ebenfalls untersucht werden. Die theoretischen Ergebnisse dieses Projektes sollen auch neue Erkenntnisse in Gebieten wie der Konvexen Optimierung, der Gleichgewichtsprobleme, der Variationsungleichungen, sowie der Kontrolltheorie bzw. den Partiellen Differentialgleichungen bringen. Die neuen Algorithmen sollen auf konkrete Anwendungen aus der Finanzmathematik, der Bildverarbeitung bzw. der Spieltheorie angewendet werden.

Im Rahmen des Projektes wurden neue Forschungsergebnisse (Algorithmen zur Lösung von Optimierungsproblemen, äquivalente Interpretationen mittels Dynamischen Systemen sowie Dualitätsaussagen) erhalten.