Ziffernsysteme, Spektren und rationale fraktale Kacheln

Das vorliegende Projekt beschäftigt sich mit mehreren in engem Zusammenhang stehenden Themenbereichen die dem Gebiet der Erforschung von Ziffernentwicklungen zuzurechnen sind. In der Erforschung von Ziffernsystemen spielen Methoden aus der Zahlentheorie, der Theorie der Dynamischen Systeme sowie der Fraktalen Geometrie eine große Rolle. Unter Ziffernentwicklungen versteht man ganz allgemein endliche und unendliche Darstellungen von (ganzen, reellen oder komplexen) Zahlen die durch eine endliche Ziffernmenge und Potenzen einer festen Basis erzeugt werden. Die Frage wie man eine gegebene Zahl optimal darstellen kann führt in natürlicher Weise zu fastlinearen Dynamischen Systemen und fraktale Attraktoren. Wir beschäftigen uns mit folgenden Themen: A-adischen rationalen fraktale Kacheln; Gitter-Ziffernsysteme mit nichtkontrahierenden Matrixbasen; Multiplen shift radix systemen (MSRS); Attraktoren von symmetrischen SRS und Ziffernsysteme mit symmetrischer Ziffernmenge; Ziffernmengen, die zu Kachelungen führen; Darstellungen der 0 mit algebraischen Basen, die Konjugierte am Einheitskreis besitzen. Das Projekt wird vom Antragsteller und dessen Ko-antragsteller an der Montanuniversität Leoben ausgeführt - in enger Zusammenarbeit mit internationalen Wissenschaftlern. Die Methoden reichen von harmonischer Analyseauf projektiven Limiten, über endliche Automaten bis hin zu Computerexperimenten mit Computeralgebrasystemen. Zu den erwarteten Resultaten zählen unter Anderem: Erstellen einer allgemeinen Theorie rationaler Kacheln; Charakterisierung von Gitter-Ziffernsystemen für nichtkontrahierende Basen; Periodische Analoga diskreter Rotationen; Charakterisierung periodischer Punkte in symmetrischen Ziffernsystemen in Dimension 2 und 3 Formeln für jene Ziffernmengen, die für eine gegebene Basis zu Kachelnden führen, im Speziellen für Basen, die kleine natürliche Zahlen mit wenigen Primfaktoren sind. Verständnis der Spektralradien von Adjazenzmatrizen des Graphen, der die Darstellungen der 0 kodiert im Falle von Nichtpisotbasen, deer Anzahl der Vielfachen eines Polynoms mit kleinen Koeffizienten. Die in diesem Projekt studierten Probleme stehen in engem Zusammenhang zueinander und ihre Lösung wäre ein signifikanter Beitrag im Studium von Ziffernentwicklungen.

Die Zahlen sind in unserem Alltag allgegenwärtig. Wir verwenden Zahlen, die in traditionellen Zahlensystemen zur Basis 10 geschrieben sind, wie 4593 = 4103+5102+910+3. Unsere Computer funktionieren im Binärsystem. Die gleiche Zahl 4593 liest sich wie 1000111110001b. Mathematiker betrachten auch komplexere Zahlensysteme, bei denen die Dezimalbasis a=10 oder eine Binärbasis a=2 durch eine algebraische Zahl wie 3+2 ersetzt wird, oder die Zahlensysteme, deren Ziffern Vektoren sind, wie (1,-1), und die Base ist keine Zahl mehr, sondern eine Matrix, z.B. [1 -2] [3 4] Während solche Zahlensysteme auf den ersten Blick sehr exotisch erscheinen, können sie im wirklichen Leben sehr wichtige Anwendungen haben, beispielsweise zur Kodierung der Online - Datenströme, bei der 2D und 3D Bilddateikomprimierung. Zusammen mit solch komplizierten Zahlensystemen stellt sich die Frage, welche Größen in diesen Zahlensystemen dargestellt werden können oder nicht, wie viele verschiedene Darstellungen existieren und wie diese Darstellungen visualisiert werden können. Das aktuelle FWF-Lise-Meitner-Projekt M2259 Zahlensysteme, Spektren und rationale Fraktalkacheln beschäftigt sich genau mit diesen Fragen und den damit verbundenen Problemen. Diese Fragen sind zwar relativ einfach zu stellen, führen jedoch schnell zu sehr anspruchsvollen Gebieten der Mathematik, wie p-adischen Zahlen, fraktaler Geometrie oder abstrakter harmonischer Analyse lokal kompakter Gruppen. Zu den Hauptergebnissen des vorliegenden Projekts gehört die Etablierung des theoretischen Rahmens der Ziffernsysteme mit rationalen Matrixbasen, die die sogenannte Endlichkeitseigenschaft erfüllen, die Multitiling-Eigenschaft, die mit expandierenden rationalen Matrizen und Standardziffernmengen verbunden ist. Verwandte Fragen, wie die Muster in {-1, 1} und {0, 1}-Polynomen mit spezifizierten Nullverteilungen oder die Eigenschaften von Pisot- und Salem-Zahlen, die in Zahlensystemen sehr wichtig sind, wurden ebenfalls untersucht. Die Forschung zu diesem Projekt führte zu 3 veröffentlichten Artikeln und 1 Preprint, die zur Veröffentlichung in begutachteten mathematischen Zeitschriften eingereicht wurden, wobei 3 weitere Manuskripte in unterschiedlichem Vollständigkeitsgrad noch in Vorbereitung sind. Begleitend zu den Beiträgen wurden 2 Open-Source-Softwarebibliotheken zur Durchführung der mathematischen Berechnungen zu den Themen dieser Beiträge veröffentlicht.