Regularität der Lösungen für PDE und Perturbationsproblem

Die Frage nach der lokalen, bzw. globalen Regularität der Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung ergibt sich auf natürliche Weise. Ein damit eng verwandtes Problem betrifft die Bedingungen unter welchen diese Regularität bei Perturbation mit Gliedern niedriger Ordnung bestehen bleibt. Das Projekt soll diese Frage näher untersuchen. 1967 hat Hörmander den Fall glatter Lösungen für den Fall reeller Koeffizienten charakterisiert, doch stellte es sich später heraus, dass seine Bedingung nicht ausreicht um sicher zu stellen, dass die Lösungen analytisch sind. Obwohl das Problem einen gro ßen Bekanntheitsgrad erreicht hat, reichen die bisher erzielten Erkenntnisse nicht aus, um ein klares Bild ausreichender Bedingungen zu ergeben, welche die analytische Regularität der Lösungen erzwingen. Unsere Untersuchungen passen in diesen Kontext. Unser erstes Ziel ist es zwei neue Modelle mit reichen Eigenschaften einzuführen und zu untersuchen. Dabei sollen auch die Unterschiede der beiden Modelle herausgekehrt werden. Darüber hinaus soll auch das Problem der globalen Regularität für auf dem Torus definierte Operatoren mit reell analytischen Koeffizienten untersucht werden, wobei auch die Treves Vermutung getestet werden soll. Ein wesentliches Hilfsmittel stellen a priori Abschätzungen dar. Um dann die Ergebnisse erhalten zu können soll auch der zugeordnete Greensche Operator untersucht werden. Obzwar auch in der veröffentlichen Literatur Ergebnisse hierzu vorhanden sind, brauchen wir für den degenerierten Fall einen neuen Zugang. Ein gutes Verständnis des Greenschen Operators sollte es uns erlauben auch das Perturbationsproblem zu verstehen. In einer vor kurzem mit Cordaro verfassten Arbeit, spielt der Greensche Operator eine wichtige Rolle bei Regularitäts- und Perturbationsfragen. Im Falle komplexwertiger Koeffizienten stellt sich die Lage stark verändert dar. Und zwar ist vor kurzem gezeigt worden, dass die Hörmandersche Theorie sich nicht übertragen lässt. Um hinreichende Bedingungen für die Glattheit der Lösungen zu erhalten, werden wir, einer Idee von Kohn folgend, uns mit einer speziellen Klasse beschäftigen, um daraus Strategien für den allgemeinen Fall herauszuarbeiten. Um dies zu tun werden wir die Spektraleigenschaften des Operators untersuchen, um eine Art ``Inverse`` für den Operator zu konstruieren.

Das Ziel dieses Projekts war die Untersuchung von zwei Fragestellungen zu einem Differentialoperator P der sich als Summe von Quadraten reell-analytischer Vektorfelder darstellen lässt: Erstens, die Untersuchung der Singularitäten der Lösungen von P sowohl im lokalen als auch im globalen Verhalten und zweitens, die Untersuchung der folgenden Störungseigenschaft: Wenn P (global) analytisch hypoelliptisch ist, und Q ein Pseudodifferentialoperator dessen Ordnung kleiner dem Subelliptizitätsindex von P ist, ist P+Q noch immer (global) analytisch hypoelliptisch? Hypoelliptizität von solchen Quadratsummenoperatoren P wurde durch Hörender charakterisiert, dessen Bedingung aber nicht hinreichend für analytische Hypoellipizität (AH) ist. Eine der herausragenden Vermutungen für eine Charakterisierung ist die Vermutung von Treves, die sich auf die Poissonstratifizierung bezieht; im Jahr 2016 haben Albano, Bove, und Mughetti (ABM) ein erstes Modell entwickelt, bei de die Treves-Vermutung fehlschlägt. Seitdem ist die Frage, AH zu charakterisieren, wieder weit offen. In unserem Projekt haben wir eine Klasse von Operatoren analysiert, die das ursprüngliche ABM Modell verallgemeinern und auch zwischen lokaler und globaler AH liegt in dem Sinn dass manche Veränderliche global und manche Veränderliche lokal sind. Wir konnten zeigen, dass das ABM Modell global AH ist, und konnten auch zeigen, dass einige Aspekte der globalen Treves-Vermutung tatsächlich zutreffen. Dabei haben wir uns darauf konzentriert, ein Modell zu konstruieren, dass nicht konsistent mit der Treves-Vermutung ist. Obwohl uns das nicht vollständig gelungen ist, konnten wir wichtige Fortschritte erzielen: die präzise Regularität von Lösungen von verallgemeinerten Motivier-Operatoren, die mit der von Bove und Tartakoff im Jahr 2014 vermuteten Regularität übereinstimmt. Diese Arbeit war ein Startpunkt von noch andauernder Arbeit (gemeinsam mit Bove), in der wir die optimale Regularität in mehreren Veränderlichen (die nach wie vor offen ist) untersuchen. Für das Störungsproblem konnten wir die folgenden Resultate, gemeinsam mit Bove, erzielen: Wir konnten eine Beziehung zwischen der minimalen Regularität und dem subelliptischen Index herstellen, und die AH von einer Klasse von Differentialoperatoren zeigen. Diese Resultate zeigen eine enge Beziehung zwischen dem Störungsproblem und der Charakterisierung von Regularität durch Potenzen von P. So erreichten wir gemeinsam mit Derridj a priori Abschätzungen und über die FBI Transformation minimale mikrolokale Regularität von sogenannten analytischen Vektoren. Auch diese Arbeit wird weiter fortgesetzt (gemeinsam mit Derridj). Die Zusammenarbeit mit Prof. Lamel war eine grosse Möglichkeit, mein Wissen zu erweitern, und ich habe auch meine Expertise an die Gruppe in Wien weitergeben können.