Analysis und Geometrie auf CR-Mannigfaltigkeiten

Dieses Projekt befindet sich an der Grenze zwischen mehreren mathematischen Disziplinen: Der Theorie mehrerer komplexer Veränderlicher, partieller Differentialgleichungen, und Differentialgeometrie. Es hat auch enge Beziehungen und zahlreiche Anknüpfungspunkte zu Algebra, Operatortheorie, Funktionalanalysis, und modernen Fragestellungen der mathematischen Physik. Das hauptsächliche Thema des Projekts sind geometrische und analytische Eigenshaften von CR Mannigfaltigkeiten, die darauf abzielen, vielfältige Probleme im Rahmen von sub-Riemannscher Geometrie und hypoelliptischen partiellen Differentialoperatoren zu studieren. Einer der treibenden Fragestellungen ist es, eines der grundlegenden Objekte des Gebiets, nämlich Teilmannigfaltigkeiten komplexer Räume besser zu verstehen. Spezifisch wird sich das Projekt mit zwei wichtigen Aspekten von CR Mannigfaltigkeiten auseinandersetzen: Der Analysis von CR Mannigfaltigkeiten und Abbildungen auf der einen Seite, und der Geometrie strikt pseudokonvexer CR Mannigfaltigkeiten im Spiegel von der Geometrie konformer und Riemannscher Mannigfaltigkeiten auf der anderen Seite. Wir gehen noch auf einige Ziele des Projekts ein. Eines der Ziele des Projekts ist es, die Transversalität von CR Abbildungen zwischen CR Mannigfaltigkeiten verschiedener Dimension zu studieren (hier werden Techniken, die gemeinsam von Ebenfelt und dem Antragsteller entwickelt wurden, in einem Kontext angewandt, der darauf abzielt, die neuen Resultate von Huang und Zhang entscheidend zu verallgemeinern). Ein weiteres Ziel ist es, die exakte a priori Regularität von CR Abbildungen festzumachen, aus der man folgern kann, dass die Abbildung glatt bzw. analytisch ist. Hier wird versucht, die aktuelle Arbeit von Lamel und Mir in Zusammenhang mit Reflexionstechniken anzuwenden. Ein erster wichtiger Schritt wird das Studium von CR Abbildungen in Hyperquadriken (bzw. Sphären) sein. Des weiteren wird der Antragsteller daran weiterarbeiten, Ideen und Techniken aus dem Bereich der konformen und Riemannschen Geometrie im Bereich mehrerer komplexer Veränderlicher anzuwenden. Das Hauptaugenmerk in diesem Bereich wird die Spektralanalysis des Kohn-Laplace Operators und seine Anwendung auf die Geometrie von CR Mannigfaltigkeiten sein, im Geiste von der Charakterisierung von Eigenwerten des Kohn-Laplace operators auf Sphären und den Obata- Sätzen der CR Geometrie, die uns ermutigen, diese auch zum Studium feinerer geometrischer Eigenschaften anzuwenden. Schlussendlich wird in dem Projekt auch das Studium des umbilischen Tensors von Cartan auf strikt pseudokonvexen CR Mannigfaltigkeiten weitergeführt werden; dieses Programm ist das Äquivalent der CR Geometrie für die Caratheodory-Vermutung in der Differentialgeometrie.

FWF-Zusammenfassungen zur Öffentlichkeitsarbeit für das Lise Meitner Projekt M 2472 - N35 Das Projekt "Geometrie und Analysis auf CR-Mannigfaltigkeiten" liegt zwischen mehreren komplexen Variablen, partiellen Differentialgleichungen und Differentialgeometrie. Es hat auch enge Verbindungen zu Algebra, Operatortheorie, Funktionalanalysis, sowie zu aktuellen Themen der mathematischen Physik. Das Hauptthema dieses Programms ist die Analyse und Geometrie auf CR-Mannigfaltigkeiten, die den Rahmen für viele verschiedene mathematische Probleme wie die der Sub-Riemann-Geometrie und hypo-elliptischen Differentialoperatoren bildet. Ein Großteil der Forschung in diesem Projekt ist durch den Wunsch motiviert, eines der wichtigsten Objekte auf diesem Gebiet zu verstehen, nämlich die reellen Untermannigfaltigkeiten im komplexen Raum. Das erste Ergebnis dieses Projekts ist eine Untersuchung der Geometrie von CR- Untermannigfaltigkeiten in einem Kähler-Mannigfaltigkeit im Hinblick auf die Tanaka-Webster- und Chern-Zusammenhänge auf den CR- bzw. Kähler-Mannigfaltigkeit. Der Projektleiter fand grundlegende Gleichungen wie die Gauß-Codazzi-Gleichungen für die sogenannten "semi-isometrischen" CR-Immersionen und demonstrierte ihre Nützlichkeit in verschiedenen Anwendungen, beispielsweise bei der Schätzung des Spektrums des Kohn-Laplace und der Charakterisierung des Nabelpunkthyperflächen. Der Projektleiter und sein Kollaborator Michael Reiter fanden eine prägnante Formel für den bekannten Chern-Moser-Weyl-Tensor für reelle Hyperflächen, der durch eine allgemeine Definitionsfunktion gegeben ist. Dies ist eine weitere Anwendung der bereits erwähnten Gauß-Codazzi-Gleichungen für die semi-isometrischen CR-Immersionen. Reiter und der Projektleiter haben die Formel angewandt, um eine 2017 von den beiden Mathematikern J. Case und R. Gover aufgeworfene Frage vollständig zu lösen und eine Lösung für die 2013 aufgeworfene Hirachi-Vermutung in der CR-Geometrie zu liefern. Der Projektleiter und sein Kollaborator Bernhard Lamel untersuchten die Geometrie von CR-Untermannigfaltigkeiten in einer CR-Mannigfaltigkeit und konstruierten ein CR-Analogon des Ahlfors-Tensors für CR-Immersionen, das den früher vom Projektleiter untersuchten CR-Schwarzian-Tensor verallgemeinert. Weitere Ergebnisse auf dieser Linie waren die Identifizierung des CR-Ahlfors-Tensors und seine Anwendungen auf das Studium der sphärisch äquivalenten Abbildungen der Kugeln. Schließlich untersuchten der Projektleiter und sein Kollaborator Friedrich Haslinger den del-Komplex auf den gewichteten Bergmann-Räumen auf hermitschen Mannigfaltigkeiten. Der del-Komplex ist wichtig für die komplexe Analysis und hat Anwendungen in den Darstellungen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Quantenmechanik, ähnlich wie die Dualität zwischen den Differenzierungs- und Multiplikationsoperatoren im Segal-Bargman-Fock-Raum. Unsere Studie enthüllt neue geometrische Eigenschaften, die wichtig sind, damit die Dualität zwischen den Differenzierungs- und Multiplikationsoperatoren im Segal-Bargmann-Raum - dem "flachen Modell" - auch im allgemeineren Rahmen der "gekrümmten Modelle" gilt. Sein "Rand-Gegenstück" ist der tangentiale Cauchy-Riemann-Komplex auf differentiellen (p,0)-Formen mit glatten CR-Koeffizienten, was für die Untersuchung von CR-Mannigfaltigkeiten wichtig sein sollte.