Singuläre stochastische PDG

Aufbauend auf der Pionierarbeit von Fields-Medaillen-Träger Martin Hairer entstand in den letzten Jahren ein neues Gebiet der Mathematik an der Schnittstelle von Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Physik. Diese Entwicklungen brachten die Methoden, die notwendig waren, um ein tiefgreifendes Verständnis bestimmter Differentialgleichungen zu erlangen, die bereits in der Physikliteratur abgeleitet worden waren, und die verschiedene interessante Modelle wie Interface- Wachstum, ferromagnetische Phasenübergänge oder stochastische Fluiddynamik beschreiben. Vor den bahnbrechenden Erkenntnissen Hairers fehlte das mathematische Verständnis dieser Gleichungen. Es stellte sich heraus, dass sie durch eine Prozedur interpretiert werden müssen, die eine sorgfältige Behandlung von unendlichen Mengen beinhaltet - ein Prozess, der auch Renormierung genannt wird. Unser Projekt zielt darauf ab, diese Ideen weiter zu entwickeln und in neuen Settings anzuwenden. Was passiert zum Beispiel, wenn die Dynamik, die durch jene Differentialgleichungen beschrieben wird, auf einen Würfel oder eine andere Form beschränkt ist? Unsere jüngsten Arbeiten zeigen, dass bei bestimmten Gleichungen neue Unendlichkeiten - und damit neue Renormierungen - an der Grenzen der Form auftauchen. Viele andere Gleichungen und/oder Formen sind derzeit außerhalb der Reichweite der gängigen Theorien, und die allgemeinen mathematischen Methoden, um sie zu behandeln, müssen erst entwickelt werden. Was passiert außerdem, wenn sich die Umgebung, in der sich die Partikel des Modells bewegen, verändern kann? Wenn sie zum Beispiel durch die Dichte der Teilchen beeinflusst wird? Im speziellen Fall eines porösen Mediums ist diese Frage (also das Aufstellen einer Lösungstheorie der Gleichung eines solchen Modells) noch vollständig offen. Auf einem eng verwandten Gebiet bei den nicht entarteten quasilinearen Gleichungen konnten in letzter Zeit jedoch große Fortschritte gemacht werden. Unter Verwendung dieser Fortschritte werden wir das Problem in Angriff nehmen, die Renormierungsmethoden in die Gleichungen für poröse Medien zu implementieren, ebenso wie in andere quasilineare Gleichungen zur Beschreibung nicht-homogener Umgebungen.

Nach den bahnbrechenden Ideen des Fields-Medaillengewinners Martin Hairer rückte in den letzten Jahren eine neue Klasse von mathematischen Gleichungen ins Rampenlicht der Forschung. Die sogenannten singulären stochastischen partiellen Differenzialgleichungen sind sowohl Teil der Analysis, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Physik. In der physikalischen Literatur sind sie seit langem bekannt und beschreiben viele faszinierende Konzepte wie Grenzflächenwachstum, ferromagnetische Phasenübergange und stochastische Fluiddynamik. Vor den Durchbrüchen von Hairer fehlte jedoch das mathematische Verständnis für diese Gleichungen. Es stellte sich heraus, dass ein Verfahren, das eine sorgfältige Berücksichtigung unendlicher Mengen beinhaltet - ein Prozess, der auch als Renormierung bezeichnet wird, benötigt wird, um diese Gleichungen zu interpretieren. Dieses Verfahren zielt darauf ab, die stärksten Resonanzen im System auszuschalten, die durch das Rauschen aus den Gleichungen selbst entstehen. Mein Forschungsprojekt widmete sich der Entwicklung dieser Konzepte und ihrer Anwendung in neuartigen Umgebungen. Mein Ziel war es eine größere Klasse solcher singulären Gleichungen zu lösen. Eine der Hauptrichtungen meiner Forschung untersuchte quasilineare Gleichungen. Das wichtigste neuartige Merkmal solcher Gleichungen ist, dass die Diffusivität des Systems nicht mehr homogen ist. Stattdessen kann man davon ausgehen, dass die Diffusivität von der Umgebung abhängt - die wiederum mit dem System (d.h. der Lösung der Gleichung) selbst verknüpft ist. Ich war daran interessiert, zwei der Hauptprobleme anzugehen, die sich aus dieser Art von Dynamik ergeben. Erstens kann die Kopplung zwischen Umgebung und Lösung der Gleichung eine neue Quelle für Resonanzen sein - hieraus ergibt sich die Notwendigkeit einer neuen Klasse der Renormierung. Außerdem dominiert der diffusive Teil des Systems nicht mehr den singulären Teil. Dies stellt eine große Herausforderung für ihre Analyse dar. In meiner Forschungsarbeit habe ich wahrscheinlichkeitstheoretische und kombinatorische Verfahren entwickelt, die für die Renormierung quasilinearer Singulargleichungen eingesetzt werden können. Zweitens wird in Situationen wie den bekannten porösen Mediengleichungen der diffusive Teil bei bestimmten Systemzuständen vollständig ausgeschaltet. Zusammen mit meinen Kooperationspartnern haben wir gezeigt, dass wir trotz fehlender Diffusivität, Lösungen für solche Gleichungen konstruieren können, solange das Rauschen mit der fast jahrhundertealten stochastischen Rechnung von Ito kompatibel ist.