Algebro-geometrische Anwendungen von Faktorisationshomologie

Topologie ist die Studie von Formen, sog. topologischen Räumen, bis auf stetige Verformungen, wie Dehnungen, Verdrehungen und Biegungen, aber nicht Reißen oder Kleben. Beispielsweise ist für TopologInnen eine Tasse equivalent zu einem Donut. Eine der Möglichkeiten topologische Räume zu studieren ist, ihnen algebraische Invarianten zuzuschreiben, also Werte, die sich bei stetigen Verformungen nicht verändern. Bettizahlen und deren Verfeinerung, (Ko-)Homologie, gehören zu den ältesten solcher Invarianten. Grob gesagt beschreibt die k-te Bettizahl die Anzahl k- dimensionaler Löcher eines Raumes. Zum Beispiel sind die Bettizahlen einer ebenen Fläche alle null, während die erste Bettizahl eines Kreises eins ist. Algebraische Geometrie befasst sich mit der Studie von Lösungen von Systemen polynomieller Gleichungen, sog. algebraischen Varietäten, die viel starrer als topologischen Räume sind. Die Lösungen leben in allgemeinen Zahlensystemen, sog. Ringen, für die die rationalen, reellen und komplexen Zahlen, aber auch endliche Körper, also Zahlensysteme mit nur endlich vielen Zahlen, Beispiele sind. Eine der großen Errungenschaften der Mathematik des 20. Jahrhunderts ist die Entwicklung der Theorien von Schemata und ihrer Kohomologie. Diese ermöglichen es solche Objekte geometrisch zu untersuchen und ihre Löcher zu zählen, sogar wenn man mit endlichen Körpern arbeitet, wo die Lösungen endlich und diskret sind. Tatsächlich bieten die Weil- Vermutungen, mittlerweile Theoreme, eine präzise Formulierung der Idee, dass die Topologie der Menge komplexer Lösungen von Polynomen, bzw. ihre Bettizahlen, die Anzahl der Lösungen über endliche Körper bestimmen. Die Anwendung topologischer Methoden auf die Studie algebro-geometrischer Objekte ist das Leitmotiv vieler mathematischer Durchbrüche der letzten Jahrzehnte. Faktorisationshomologie, der Fokus dieses Forschungsvorhabens, ist eine elegante Mischung von Ideen aus der Topologie, der algebraischen Geometrie, der Darstellungstheorie und der Physik. Ungleich der additiven Natur gewöhnlicher Kohomologietheorien (die Anzahl der Punkte/Löcher wird summiert), bietet Faktorisationshomologie multiplikative Invarianten. Diese Eigenschaft wird mit großem Erfolg genutzt um Probleme in vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik zu attackieren. In diesem Forschungsplan wird vorgeschlagen, die Faktorisationshomologie im Kontext der algebraischen Geometrie zu erweitern und zu verallgemeinern, um sie auf Probleme über Konfigurationsräume, Hilbert-Schemata von Punkten, Kohomologie von Modulräumen von Bündeln und Knoteninvarianten anzuwenden. Diese Probleme liegen an einer interessanten Schnittstelle zwischen algebraischer Geometrie, Darstellungstheorie und Topologie. Faktorisationshomologie wurde bislang nicht verwendet, um diese Fragen zu beantworten. Die vorgeschlagenen Methoden werden, wenn erfolgreich, neue Möglichkeiten eröffnen solche Objekte näher zu studieren.

Bei einem Raum X sind die Konfigurationsräume von X geometrische Objekte, die alle Möglichkeiten darstellen, wie " Partikel " auf X positioniert werden können. Diese Konfigurationsräume spielen in vielen Bereichen der Mathematik eine zentrale Rolle, da sie an der Verbindung von Topologie, algebraischer Geometrie und Darstellungstheorie usw. liegen. Mit zunehmender Anzahl der Partikel wird der Konfigurationsraum immer komplizierter. Eine Möglichkeit, die Komplexität zu messen, besteht darin, die Anzahl der Löcher in verschiedenen Dimensionen zu zählen, oder mathematisch gesprochen, über die Homologiegruppen. Es ist bekannt, dass sich die Anzahl der Löcher in einer festen Dimension stabilisiert, wenn die Anzahl der Partikel groß genug ist, ein Phänomen, das als homologische Stabilität bekannt ist. Eine der wichtigsten Errungenschaften des Projekts ist ein Ergebnis, das neue Stabilitätsphänomene aufzeigt, die Löcher verschiedener Dimensionen betreffen. Diese so genannten höheren Stabilitätsergebnisse sind sehr viel subtiler und wurden bisher nur an sehr wenigen Beispielen gefunden.