Kählergruppen: Flächen, Dehnfunktionen und Konstruktionen

Das Ziel dieses Projekts ist es grundlegende Fortschritte im Verständnis der Topologie von kompakten Kählermannigfaltigkeiten durch die Verwendung von Methoden der geometrischen Gruppentheorie zu erzielen. Techniken aus mehreren Disziplinen der modernen Mathematik werden hierbei eine wichtige Rolle spielen, unter anderem aus der Algebraischen Geometrie, der Differentialgeometrie und der Gruppentheorie. Kählermannigfaltigkeiten sind Räume am Schnittpunkt der Algebraischen Geometrie mit der Differentialgeometrie. In der Algebraischen Geometrie geht es darum die Geometrie von Nullstellenmengen von Polynomen zu verstehen. Zum Beispiel kann ein Kreis in der Ebene durch die polynomielle Gleichung x*x+y*y=1 beschrieben werden. Die Differentialgeometrie beschäftigt sich mit dem Studium von glatten geometrischen Räumen, so genannten Mannigfaltigkeiten. Eine natürliche Klasse von Räumen sind solche, die sowohl Mannigfaltigkeiten, als auch Nullstellenmengen von Polynomen sind. Beispiele hierfür sind glatte Flächen und auch der oben beschriebene Kreis. Grob gesagt nennt man solche Mannigfaltigkeiten Kählermannigfaltigkeiten. Das andere wichtige Gebiet in diesem Projekt ist die Gruppentheorie. Sie kann als das Studium der Symmetrien von Objekten interpretiert werden. Zum Beispiel bilden die Reflektions- und Rotationssymmetrien eines Würfels eine sogenannte Gruppe. Man kann jedem geometrischen Raum seine sogenannte Fundamentalgruppe zuweisen. Hierbei handelt es sich um die Menge aller Schleifen in diesem Raum, wobei wir zwei Schleifen identifizieren, falls sie ineinander verformt werden können. Eine Kählergruppe ist die Fundamentalgruppe einer kompakten Kählermannigfaltigkeit. Dieses Projekt verfolgt drei Hauptobjektive im Studium von Kählergruppen. Objektiv A ist es neue Resultate zu den Zusammenhängen zwischen Kählergruppen und Untergruppen von Produkten von Flächengruppen (kurz SPSGs) zu erzielen. Insbesondere planen wir die Kählergruppen in interessanten Unterklassen der SPSGs zu klassifizieren und Anwendungen unserer Resultate im Bereich der Kodairafaserungen zu erkunden. Objektiv B betrifft die Dehnfunktionen von Kählergruppen und residuell freien Gruppen. Unsere Arbeiten mit Tessera haben gezeigt, dass Kählergruppen Dehnfunktionen haben können die nicht linear, quadratisch oder exponentiell sind. Das Ziel ist es weitere Erkenntnisse an Hand der konkreten Klasse der Kähler SPSGs zu gewinnen. Ein wichtiger Schritt wird hierbei das Studium von Dehnfunktionen residuell freier Gruppen sein. Objektiv C hat die Konstruktion neuer Kählergruppen zum Ziel. Insbesondere wollen wir die erste explizite Konstruktion von Beispielen durch Verwendung der Bogomolov-Katzarkov- Konstruktion durchführen und anschließend deren Eigenschaften untersuchen.