Regularität & Einbettbarkeit von selbst-ähnlichen Prozessen

Hintergrundwissen. Klassische Korper der Geometrie wie zum Beispiel Geraden, Kugeln, und Quader sind in der Natur nur selten zu finden. Viel haufiger sind Formen die sich selbst ahneln. Ein Berg ist zum Beispiel keine Pyramide sondern eine Ansammlung von bergformigen Steinen verschiedener Großen. Ohne Skalenreferenz ist es unmoglich einen Felsen von einem rauen Stein, oder Kiesel zu unterscheiden. Diese Formen sind omniprasent in der Natur von Wolken zu Blitzen oder Baumen. Was ist ein Baum, wenn nicht ein Menge von baumformigen Asten? Eine zentrale Komponente der Fraktalgeometrie ist die Quantisierung der Veranderungen verschiedenen Eigenschaften mit zunehmender Verkleinerung. Informell sind Maße Massen- verteilungen im Raum und die Studie deren geometrischen Eigenschaften is seit vielen Dekaden von großem Interesse. Die Dimensionstheorie insbesondere erforscht die Skalierung durch Di- mensionen die verschiedene Aspekte charakterisieren. Die haufigste Skalierung ist exponentiell (z.B. Oberflache und Volumen) aber selbst gewohnliche Maße konnen gleichzeitig verschiedene Verhalten auf einer durchschnittlichen, feinen, oder groben Skala haben. Dimensionen werden benutzt um diese Objekte zu klassifizieren und zu unterscheiden wenn traditionelle Mittel wie Flache und Volumen nicht mehr angebracht sind. Obwohl sie abstrakt definiert sind, konnen diese Dimensionen in der materiellen Welt angewendet werden. Die Dimension eines porosen Materials ist mit seiner chemischen Reaktivitat verbunden, genauso wie die Di- mension eines Borsentickers mit der Marktvolatilitat zusammen hangt. Maße treten in vielen Feldern der reinen und angewandten Mathematik auf und ein gutes Verstandniss der dimension- alen Eigenschaften kann zu Antworten in diversen Fachgebieten fuhren wie z.B. Kombinatorik, Gruppentheorie, Zahlentheorie, Informatik, Datenverarbeitung, und Finanzmathematik. Forschungsprojekt. In den letzten Jahren sind viele fortgeschrittene Methoden entwickelt worden um Skalierungseigenschaften zu verstehen. Ein Nachteil vieler dieser modernen Meth- oden is deren Voraussetzung von starken Einschrankungen auf dynamische Strukturen, oft in der Form von Trennungseigenschaften die beschranken wie viel Masse sich in kleinen Raumen haufen kann. Eine Art diese zu eliminieren is mit der Betrachtung von generischen Systemen. Viele bahnbrechende Erkenntnisse wurden auf diese Art gewonnen, selbt wenn der algemeine Fall unmoglich scheint. Der Vorteil dieser generischen Systeme kann darauf zuruckgefuhrt werden, dass die Kombination von vielen kleinen stochastischen Effekten die kritischen Teile ausglattet und die rigide Struktur etwas auflockert. Unser Interesse besteht darin, zu quantifizieren in wiefern die Stochastisierung Maße glattet und welche Strukturen erhalten bleiben, d.h. wir ersuchen deren Regularitat fest zu stellen. Um dies zu erreichen werden wir: extremale Strukturen von Maßen die durch dynamische Systeme kreirt werden analysieren, die Baumstruktur von homeomorphen Abbildungen von stochastis- chen Strukturen quantifizieren, und deren gegenseitige Einbettbarkeit studieren. Diese ex- tremalen Strukturen konnen durch die Familie der Assouad Dimensionen gemessen werden, welche nur vor kurzem in der Fraktalgeometrie eingefuhrt wurden. Weitere Studie deren Eigen- schaften sind eine zentrale Komponente unserer Forschung. Wir werden unsere Ziele dadurch erreichen verschiedene moderne Methoden und Techniken auf stochastische Prozesse zu adap- tieren und heraus zu finden wie sie in generischen Systemen optimiert oder verbessert werden. Unser Ziel ist es neues Licht auf Themen wie Quantum Gravitation und Perkolationsprobleme in Graphtheorie zu werfen. 1

Selbstähnlichkeit ist ein Phänomen, bei dem ein Objekt (z. B. eine Küste, Blitze und Bäume) sich selbst auf verschiedenen Maßstäben ähnlich sehen: Die Struktur eines langen, sich schlängelnden Flusses ist nicht von der eines kleinen Nebenflusses oder Bächen zu unterscheiden. Allerdings ist die lokale Struktur keine perfekte Kopie des ganzen Objektes, sondern eine stochastische Variation davon. Diese Prozesse und ihre abstrakten mathematischen Equivalente werden als "stochastisch selbstähnliche Objekte" oder als "selbstähnlicher (stochastischer) Prozess" bezeichne. Ein wichtiges Beispiel ist die Brownsche Bewegung, die den zufälligen Pfad eines Objekts (z. B. Pollen in der Luft) oder einen Aktienpreis modelliert. Diese Prozesse haben keine feste Größe, sondern entwickeln sich mit der Zeit weiter, sie sind ein dynamisches System. In diesem Projekt haben wir mehrere solcher Prozesse aus der Sicht der Dimensionstheorie untersucht. Dimensionstheorie verwendet verschiedene Konzepte von "Dimensionen", um Unregelmäßigkeiten und Komplexität zu quantifizieren. Eines der Hauptziele dieses Projekts war, diese Phänomene enger miteinander zu verknüpfen, indem untersucht wurde, ob die "Essenz" komplizierter Strukturen in einfachere Räume eingebettet werden kann und wie sich die Komplexität eines festen Objekts ändert, wenn seine Umgebung zufällig verändert wird. Das letztere ist ein Effekt, der mit der Quantengravitation in Verbindung steht. Ich beschreibe hier die zwei wichtigsten Errungenschaften dieses Projektes. Das erste Projekt befasste sich mit Mengen und wie sich ihre Komplexität unter zufälligen selbstähnlichen Veränderungen des Raums verhält. Ein berühmtes Ergebnis von 2008 gab eine elegante Formel für die (Hausdorff-)Dimension der zufällig veränderten Menge, die nur von der Dimension der unveränderten Menge und der verwendeten Zufälligkeitsvariable abhing. Es wurde allgemein vermutet, dass dieselbe Formel auch für die "Box-counting" Dimension hielt. In Zusammenarbeit mit Kenneth Falconer (University of St Andrews) haben wir jedoch gezeigt, dass dies nur zutrifft, wenn die Menge sehr regelmäßig ist. Andernfalls ist es möglich, dass die veränderte Menge eine andere Dimension hat. Des weiteren, haben wir beweisen können, dass es unmöglich ist, eine konkrete Formel für die veränderte Dimension zu geben, die nur von der ursprünglichen abhängt. Man benötigt mehr Informationen über die Struktur der Menge selbst. Das zweite Projekt passte die neusten Fortschritte in der (deterministischen) diophantischen Analyse, die untersucht, wie gut Strukturen angenähert werden können, an stochastische Attraktoren an. Obwohl viel über die allgemeine Struktur dieser Objekte bekannt war, war mit vorhandenen Techniken keine genauere Analyse möglich. In Zusammenarbeit mit Simon Baker (University of Birmingham) haben wir diophantische Techniken an zufällige Attraktoren angepasst, um lange bekannte Ergebnisse vereinfacht zu beweisen, und sie darüber hinaus drastisch zu verbessern. Diese neuen Resultate geben nicht nur feine Informationen über die zahlentheoretischen Eigenschaften von selbstähnlichen Zufallsprozessen, sondern erstrecken sich auch mit wenigen Modifikationen auf "selbstaffine" Prozesse. Diese Strukturen sind allgemein schwer zu analysieren, und wir haben erhebliche Fortschritte unseres Verständnis ihrer feinen Details gemacht.