Stochastische Cahn-Hilliard Gleichung und Anwendungen

Das Projekt ist eine Untersuchung der stochastischen Cahn-Hilliard-Gleichung in Bezug auf mathematische Analyse und Anwendungen. Wir werden uns sowohol auf die stochastische konvek- tive Cahn-Hilliard-Gleichung konzentrieren, bei der ein auf das System einwirkendes Geschwindigkeits- feld berücksichtigt wird, als auch einige Anwendungen für die stochastische Phasenfeldmodellierung für das Tumorwachstum untersuchen. Im ersten Arbeitspaket analysieren wir die stochastische Cahn-Hilliard-Gleichung mit einer konvektiven Störung in Divergenzform. Wir erwarten, eine gute Haltung und Regelmässigkeit nachzuweisen und eine optimale Geschwindigkeitsregelung durchzuführen, was einer Minimierung eines Kostenfunktionalismus durch Regelung des Geschwindigkeitsfeldes gleichkommt. Im zweiten Arbeitspaket untersuchen wir eine Klasse von stochastischen Phasenfeldmodellen für das Tumorwach- stum, wobei wir die stochastische Cahn-Hilliard-Gleichung (für die Differenz der Volumenanteile zwischen nekrotischen und gesunden Zellen) mit einer Reaktionsdiffusionsgleichung für den Nährstoff (Glukose) koppeln. Wir erwarten, zu beweisen, dass ein Problem, das sich aus Anwendungen ergibt, korrekt gestellt ist, und ein optimales Kontrollproblem durchführen zu können. Durch die Verabre- ichung einer Arzneimittelmenge möchte man eine Zielkonfiguration der Tumorregion am Ende der Behandlung erreichen, sodass die Menge von gegebenem Medikament minimal ist. Der Ansatz basiert auf einer verallgemeinerten Variationseinstellung für SPDEs. Wir werden uns auf die monotone und konvexe Analyse setzen, um schnellwachsende Potenziale zu bewältigen, und wir werden Techniken aus der Funktionsanalyse und der Wahrscheinlichkeitstheorie wie Fest- punktargumente, Differenzierbarkeit in Banachräumen und stochastische Kompaktheit verwenden. Die Originalität des Projekts zeigt sich auf verschiedenen Ebenen. Zuallererst ist die stochastis- che konvektive Cahn-Hilliard-Gleichung für den Phasenübergang von grundlegender Bedeutung, da sie komplexere Modelle ermöglicht, die auch eine Evolutionsgleichung für die Geschwindigkeitsvari- able enthalten, mit Anwendungen auf Physik und Biologie. Trotz seiner entscheidenden Rolle fehlt der Gleichung noch eine strenge mathematische Analyse: Die vorgeschlagene Studie ist der erste Schritt in diese Richtung und wird für eine tiefere Behandlung stochastischer Phasenfeldmodelle erforderlich sein. Zweitens wurden Phasenfeldmodelle für das Tumorwachstum nur in determinis- tischer Umgebung untersucht. Die Möglichkeit, die Unsicherheit des biologischen Phänomens zu berücksichtigen, ist entscheidend, da es sich um unvorhersehbare Schwingungen auf mikroskopis- cher Ebene handelt. Das zweite vorgeschlagene Arbeitspaket wird daher eine genauere Beschrei- bung des realen Phänomens liefern und den Weg für die Untersuchung genauerer Modelle für das Tumorwachstum ebnen. Aufgrund des interdisziplinären Aspekts wird das Projekt in hohem Maße von der Zusammenar- beit mit internationalen Forschern profitieren: Ulisse Stefanelli (Universität Wien), Carlo Marinelli (University College London), Elisabetta Rocca (Universität Pavia) und Carlo Orrieri (Universität Trento). Dadurch kann die Zusammenarbeit zwischen Wien und meinem Herkunftsland gestärkt werden. 1

Das Hauptziel des Projekts war die Bereitstellung einer mathematischen Analyse einiger ausgewählter Modelle aus Physik, Ingenieurwissenschaften und Biologie im Zusammenhang mit der "diffuse-interface modelling" unter Berücksichtigung möglicher zufälliger Störungen. Solche Modelle beschreiben die Evolution zweiphasiger Materialien (z. B. metallische Legierungen, menschliches Gewebe) und basieren auf der sogenannten Cahn-Hilliard-Gleichung. Die wichtigste Neuerung des Projekts war die Berücksichtigung unvorhersehbarer Effekte, die durch stochastische Störungen beschrieben werden. Im ersten Teil des Projekts wurden einige vorläufige Ergebnisse zur stochastischen Cahn-Hilliard-Gleichung in Abhängigkeit von Geschwindigkeitsbeiträgen erzielt. Der zweite Teil des Projekts konzentrierte sich dann auf direkte Anwendungen in Biologie und Medizin und analysierte stochastische "diffuse-interface models" für das Tumorwachstum. Dabei wurden typische Fragestellungen der Tumorbehandlung betrachtet: Wie sieht die optimale Chemotherapie eines Patienten aus, wenn Tumor/gesunde Zellen eine "diffuse interface" durchlaufen ? Explizite Ergebnisse wurden in Bezug auf die optimale Steuerung stochastischer PDEs gegeben.